I) Kiến thức cơ bản:
1.Định nghĩa:
Số nguyên A được gọi là số chính phương nếu tồn tại số nguyên dương a sao cho: A=$a^{2}$
Phát biểu: Số chính phương là số bằng bình phương của một số tự nhiên.
2.Tính chất:
– Số chính phương có chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9.
– Số chính phương chia cho 3 chỉ có thể dư 0 hoặc 1.
Kí hiệu: 3n và 3n + 1, ($n\in \mathbb{N}$)
– Số chính phương chia cho 4 chỉ có thể dư 0 hoặc 1.
Kí hiệu: 4n và 4n + 1, ($n\in \mathbb{N}$)
– Số chính phương tận cùng bằng 1 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.
Số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2
Số chính phương tận cùng bằng 4 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.
Số chính phương tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ.
*Vận dụng tính chất:
– Nếu hai số tự nhiên a và b nguyên tố cùng nhau có tích là một số chính phương thì mỗi số a, b cũng là một số chính phương.
– Khi phân tích một số chính phương ra thừa số nguyên tố ta được các thừa số là lũy thừa của số nguyên tố với số mũ chẵn.
3. Một số cách nhận biết số không chính phương N:
Cách 1: Chứng minh N có chữ số tận cùng là 2,3,7,8.
Cách 2: Chứng minh N chứa số nguyên tố với mũ lẽ.
Cách 3: Xét số dư khi N cho 3 hoặc cho 4 hoặc cho 5 cho 8.
Cách 4: Chứng minh N nằm giữa hai số chính phương liên tiếp.
Cách 5: N chia cho 3 dư 2; N chia cho 4; 5 có số dư là 2; 3.
Cách 6: Một số tính chất về số dư khi chia cho 5, 6, 7, … các bạn có thể tự suy ra bằng cách đặt số ban đầu là nk + q (Ví dụ: 5k + 1, 5k + 2, 5k + 3, …).
II) Một số dạng bài tập
1. Chứng minh một số là số chính phương hoặc không là số chính phương
Ví dụ 1: Cho $S=1.2.3+2.3.4+…+k(k+1)(k+2)$ với $k\in \mathbb{N}^{*}$. Chứng minh 4S+1 là số chính phương
Ta có: $k(k+1)(k+2)=\frac{1}{4}k(k+1)(k+2).4=\frac{1}{4}k(k+1)(k+2)[(k+3)-(k-1)]=\frac{1}{4}k(k+1)(k+2)(k+3)-\frac{1}{4}k(k+1)(k+2)(k-1)$
$\Rightarrow S=\frac{1}{4}.1.2.3.4-\frac{1}{4}.0.1.2.3+\frac{1}{4}.2.3.4.5+\frac{1}{4}.1.2.3.4+…+\frac{1}{4}k(k+1)(k+2)(k+3)-\frac{1}{4}(k-1)k(k+1)(k+2)=\frac{1}{4}k(k+1)(k+2)(k+3)$
$\Rightarrow 4S+1=k(k+1)(k+2)(k+3)+1=(k^{2}+3k)(k^{2}+3k+2)+1=(k^{2}+3k)^{2}+2(k^{2}+3k)+1=(k^{2}+3k+1)^{2}$
Vì $k\in \mathbb{N}^{*}\Rightarrow k^{2}+3k+1\in \mathbb{N}^{*}\Rightarrow 4S+1$ là số chính phương (đpcm)
=============
Ví dụ 2: Chứng minh $3^{n}+63$ không chính phương với $n\in \mathbb{N};n\neq 0;n\neq 4$
+) Xét n lẻ. Đặt: n = 2k + 1, ($k\in \mathbb{N}$)
Ta có: $3^{2k+1}\equiv (-1)^{2k+1}(mod4)\equiv -1(mod4)$
Mà $63\equiv 3(mod4)$ $3^{2k+1}+63\equiv 2(mod4)\Rightarrow 3^{n}+63$ không là số chính phương.
+) Xét n chẵn. Đặt n = 2k, (k ≠ 0). Đặt $3^{n}+63=x(x\in \mathbb{N})$
Vì $(3^{2k}+63)\vdots 3\Rightarrow x\vdots 3$ nên đặt $x=3y(y\in \mathbb{N})$
Khi đó, ta có: $3^{2k}+63=9y^{2}\Leftrightarrow 3^{2k-2}+7=y^{2}\Rightarrow y^{2}-(3^{k-1})^{2}=7\Leftrightarrow (y-3^{k-1})(y+3^{k-1})=7$ (*)
Vì $y,k\in \mathbb{N}\Rightarrow y-3^{k-1}<y+3^{k-1}$ mà $y+3^{k-1}>0$ nên từ (*) suy ra
$\left\{\begin{matrix}
y-3^{k-1}=1\\ y+3^{k-1}=7
\end{matrix}\right.
\Rightarrow 2.3^{k-1}=6\Leftrightarrow 3^{k-1}=3\Leftrightarrow k-1=1\Leftrightarrow k=2\Rightarrow n=4$
(trái với giả thiết đề bài)
Vậy $3^{n}+63$ không là số chính phương với $n\in \mathbb{N};n\neq 0;n\neq 4$
==============
*Bài tập đề nghị:
Bài 1: Cho p là tích của n số nguyên tố đầu tiên (n > 1). Chứng minh rằng p – 1 không phải là số chính phương.
Bài 2: Cho dãy số 49;4489;444889;44448889;….. Dãy số trên được xây dựng bằng cách thêm số 48 vào giữa số đứng trước nó. Chứng minh rằng tất cả các số của dãy trên đều là số chính phương
Bài 3: Chứng minh $n^{7}+34n+5$ không chính phương.
Bài 4: Tổng bình phương của 5 số tự nhiên liên tiếp có phải là số chính phương không?
2. Tìm giá trị của biến để biểu thức đã cho là số chính phương
Ví dụ 3: Tìm tất cả các số tự nhiên n khác 0 sao cho số: $A=n^{4}+n^{3}+1$ là một số chính phương.
Giải sử $A=n^{4}+n^{3}+1$ là một số chính phương.
Ta có: $A=n^{4}+n^{3}+1>(n^{2})^{2}$
Do đó: $A=n^{4}+n^{3}+1=(n^{2}+k)^{2}(k\in N^{*})$.
$\Rightarrow n^{2}(n-2k)=k^{2}-1(*)$
$\Rightarrow (k^{2}-1)\vdots n^{2}$
Suy ra: $k^{2}-1=0$ hoặc $k^{2}-1=n^{2}$
Với $k^{2}-1=0$, $k\in N^{*}$ thì $k=1\Rightarrow n=2\Rightarrow A=5^{2}$ thỏa mãn
Xét $k\in \mathbb{N}^{*};k>1$
Ta có: $n^{2}\leq k^{2}-1<k^{2}\Rightarrow n<k$ nên (*) vô lí
Vậy n = 2.
Ví dụ 4: Tìm tất cả các số nguyên n sao cho $n^{2} + 2002$ là một số chính phương
Giả sử $n^{2} + 2002$ là một số chính phương.
Đặt $n^{2} + 2002=m^{2}$, với $m\in \mathbb{Z}$.
$\Rightarrow (m+n)(m-2)=2002$
Ta có m + n và m – n là hai số chẵn với $m,n\in \mathbb{Z}$
$\Rightarrow (m+n)(m-n)\vdots 4\Leftrightarrow 2002\vdots 4$ vô lý.
Vậy không tồn tại số nguyên n để $n^{2} + 2002$ là một số chính phương.
*Bài tập đề nghị
Tìm số $a\in \mathbb{N}$ sao cho các số sau là những số chính phương:
a) $a^{2} + a + 1589 $
b) 13a + 3
c) a(a + 3)
d) $a^{2} + 81$
e) $a^{2} + a + 43$
f) $3^{a} + 72$
3. Tìm số chính phương
Ví dụ 5: Tìm số chính phương gồm 4 chữ số sao cho chữ số cuối là số nguyên tố, căn bậc hai của số đó có tổng các chữ số là một số chính phương.
Gọi số phải tìm là $\overline{abcd}$, với a, b, c, d là số tự nhiên và $1\leq a\leq 9;0\leq b,c,d\leq 9$
Vì $\overline{abcd}$ là số chính phương $\Rightarrow $ d = 0, 1, 4, 5, 6, 9
Vì d là nguyên tố \Rightarrow d=5.
Đặt:$\overline{abcd}=k^{2}<10000(k\in \mathbb{Z})\Rightarrow 32\leq k< 100$
Vì k là một số có 2 chữ số mà d = 5 nên k tận cùng bằng 5.
Tổng các chữ số của k là một số chính phương. Do đó: k = 45 và $\overline{abcd}$= 2025
Vậy số phải tìm là 2025
Ví dụ 6: Cho A là một số chính phương gồm 4 chữ số. Nếu ta thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị thì ta được số chính phương B. Hãy tìm các số A và B.
Theo đề bài, ta có:
$\left\{\begin{matrix}
A=\overline{abcd}=m^{2})\\
B=\overline{(a+1)(b+1)(c+1)(d+1)}=n^{2}(n\in \mathbb{N})
\end{matrix}\right.$
với $m,n,a,b,c,d\in \mathbb{N}; $1\leq a\leq 9;0\leq b,c,d\leq 9
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
\overline{abcd}=m^{2}\\ \overline{abcd}+1111=n^{2}
\end{matrix}\right.$
với $m,n\in N;32\leq m<n< 100$
$\Rightarrow n^{2}-m^{2}=1111\Leftrightarrow (n-m)(n+m)=1111=101.111$
Vì $m,n\in N\Rightarrow 0<n-m<n+m<200$ nên
$
\left\{\begin{matrix}
m+n=101\\ n-m=11
\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
n=56\\ m=45
\end{matrix}\right.$
$
\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
A=2025\\B=3136
\end{matrix}\right.$
Vậy A=2025;B=3136
*Bài tập đề nghị
Bài 1: Tìm một số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng số gồm 2 chữ số đầu lớn hơn số gồm 2 chữ số sau 1 đơn vị.
Bài 2: Tìm một hình vuông có số đo diện tích là một số tự nhiên gồm 4 chữ số mà 2 chữ số đầu giống nhau, 2 chữ số cuối giống nhau.
Để lại phản hồi