Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(1; -2; 3)$, $B(2; 1; 0)$ và $C(-1; 0; 2)$. Xét tính đúng sai của các mệnh đề về tọa độ vectơ và điểm liên quan.

Xét mệnh đề a):

Ta có $\overrightarrow{AB} = (2 – 1; 1 – (-2); 0 – 3) = (1; 3; -3)$ và $\overrightarrow{AC} = (-1 – 1; 0 – (-2); 2 – 3) = (-2; 2; -1)$.

Độ dài đoạn thẳng $AC$ là $AC = |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = 3$. Do đó mệnh đề a) Đúng.

Xét mệnh đề b):

Tích vô hướng $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 1 \cdot (-2) + 3 \cdot 2 + (-3) \cdot (-1) = -2 + 6 + 3 = 7 \ne 5$. Do đó mệnh đề b) Sai.

Xét mệnh đề c):

Tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ là: $$G\left(\frac{1 + 2 + (-1)}{3}; \frac{-2 + 1 + 0}{3}; \frac{3 + 0 + 2}{3}\right) = \left(\frac{2}{3}; -\frac{1}{3}; \frac{5}{3}\right).$$ Do đó mệnh đề c) Đúng.

Xét mệnh đề d):

Để tứ giác $ABCD$ là hình bình hành thì $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$. Với $D(a; b; c)$, ta có $\overrightarrow{DC} = (-1 – a; -b; 2 – c)$.

Suy ra hệ phương trình: $\begin{cases} -1 – a = 1 \\ -b = 3 \\ 2 – c = -3 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a = -2 \\ b = -3 \\ c = 5 \end{cases}$.

Khi đó $a + b + c = -2 + (-3) + 5 = 0 \ne 1$. Do đó mệnh đề d) Sai.

Bạn đọc có thể rèn luyện thêm kỹ năng tính tích vô hướng qua bài toán tìm điểm trên trục tọa độ thỏa mãn tam giác vuông.

👉 Kết luận Đúng/Sai: a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Sai