📌 Đề bài (Trả lời ngắn):
Một phản ứng hóa học tạo ra sản phẩm $X$. Khối lượng sản phẩm $X$ thu được sau $t$ giây ($0 \le t \le 10$) được xác định bởi công thức $$m(t) = \frac{120t}{t + 2}$$ (tính bằng gam). Tốc độ tạo thành sản phẩm tức thời tại thời điểm $t = 3$ giây bằng bao nhiêu gam/giây?
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Trong vật lý và hóa học, nếu đại lượng $y$ phụ thuộc vào thời gian $t$ theo hàm số $y = f(t)$, thì:
- Tốc độ thay đổi tức thời của đại lượng $y$ tại thời điểm $t_0$ chính là giá trị của đạo hàm bậc nhất tại điểm đó: $$v(t_0) = f'(t_0)$$.
- Quy tắc tính đạo hàm của hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất: $$\left(\frac{ax + b}{cx + d}\right)’ = \frac{ad – bc}{(cx + d)^2}$$.
Dạng toán này thuộc nhóm tốc độ thay đổi một đại lượng theo đạo hàm, có ý nghĩa tương đương với bài toán vận tốc tức thời trong chuyển động cơ học.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Bước 1: Xác định bản chất toán học của yêu cầu bài toán.
Tốc độ tạo thành sản phẩm tức thời tại thời điểm $t$ chính là đạo hàm của hàm số khối lượng theo thời gian: $v(t) = m'(t)$.
Bước 2: Lấy đạo hàm của hàm số $m(t)$.
Áp dụng công thức đạo hàm thương số:
$$ m'(t) = \left(\frac{120t}{t + 2}\right)’ = \frac{(120t)'(t + 2) – 120t(t + 2)’}{(t + 2)^2} = \frac{120(t + 2) – 120t}{(t + 2)^2} = \frac{240}{(t + 2)^2} $$Bước 3: Tính tốc độ tức thời tại thời điểm $t = 3$ giây.
Thay $t = 3$ vào biểu thức $m'(t)$, ta nhận được:
$$ m'(3) = \frac{240}{(3 + 2)^2} = \frac{240}{5^2} = \frac{240}{25} = 9{,}6\text{ (g/s)} $$Ý nghĩa thực tế: Tại đúng thời điểm $3$ giây sau khi phản ứng bắt đầu, khối lượng sản phẩm $X$ đang tăng lên với tốc độ là $9{,}6$ gam mỗi giây.
👉 Đáp số (kết quả điền số): 9,6
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Trả lời ngắn – Điền kết quả số)
Bài tập 1: Nồng độ của một chất hòa tan trong dung dịch sau $t$ phút ($t \ge 0$) được xác định bởi $C(t) = \frac{50t}{t + 6}$ (g/L). Tính tốc độ hòa tan tức thời của chất đó tại thời điểm $t = 4$ phút (đơn vị: g/(L·phút)).
(Dạng câu hỏi trả lời ngắn: Điền kết quả vào ô số)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Ta có $C'(t) = \frac{50(t + 6) – 50t}{(t + 6)^2} = \frac{300}{(t + 6)^2}$.
Tại $t = 4$: $C'(4) = \frac{300}{(4 + 6)^2} = \frac{300}{100} = 3$.
👉 Đáp số: 3
Bài tập 2: Số lượng cá thể trong một quần thể vi khuẩn sau $t$ giờ nuôi cấy được mô hình bởi hàm số $P(t) = 800 + 45t^2 – 2t^3$ ($0 \le t \le 12$). Tốc độ tăng trưởng tức thời của quần thể vi khuẩn tại thời điểm $t = 5$ giờ bằng bao nhiêu cá thể/giờ?
(Dạng câu hỏi trả lời ngắn: Điền kết quả vào ô số)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Tốc độ tăng trưởng tức thời là đạo hàm $P'(t) = 90t – 6t^2$.
Tại $t = 5$: $P'(5) = 90 \cdot 5 – 6 \cdot 5^2 = 450 – 150 = 300$.
👉 Đáp số: 300
Bài tập 3: Điện lượng $q$ (tính bằng Culông) truyền qua tiết diện thẳng của một dây dẫn sau $t$ giây kể từ thời điểm đóng mạch được cho bởi $q(t) = 4t^2 + 5t + 1$. Cường độ dòng điện tức thời qua dây dẫn tại thời điểm $t = 6$ giây bằng bao nhiêu Ampe?
(Dạng câu hỏi trả lời ngắn: Điền kết quả vào ô số)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Cường độ dòng điện tức thời $i(t) = q'(t) = 8t + 5$.
Tại $t = 6$: $i(6) = 8 \cdot 6 + 5 = 53\text{ (A)}$.
👉 Đáp số: 53
Bài tập 4: Một quả bóng thám không dạng hình cầu đang được bơm căng, thể tích của quả bóng tính theo bán kính $r$ (cm) là $V(r) = \frac{4}{3}\pi r^3$. Tốc độ thay đổi của thể tích quả bóng theo bán kính khi bán kính đạt $r = 5\text{ cm}$ bằng $k\pi\text{ (cm}^3/\text{cm)}$. Tìm giá trị của số thực $k$.
(Dạng câu hỏi trả lời ngắn: Điền kết quả vào ô số)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
Tốc độ thay đổi của thể tích theo bán kính là $V'(r) = \left(\frac{4}{3}\pi r^3\right)’ = 4\pi r^2$.
Khi $r = 5$: $V'(5) = 4\pi \cdot 5^2 = 100\pi$, suy ra hệ số $k = 100$.
👉 Đáp số: 100
Để lại phản hồi