📌 Đề bài (Trắc nghiệm 4 lựa chọn):
Cho cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng đầu tiên $u_1 = 2$ và công bội $q = -3$. Tính tổng $8$ số hạng đầu tiên $S_8$ của cấp số nhân đó.
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Để giải quyết các bài toán về cấp số nhân, ta cần ghi nhớ các công thức cơ bản sau:
- Định nghĩa: Dãy số $(u_n)$ là một cấp số nhân nếu thỏa mãn $u_{n+1} = u_n \cdot q$ với mọi $n \ge 1$, trong đó $q$ là công bội.
- Số hạng tổng quát: $u_n = u_1 \cdot q^{n – 1}$ với mọi $n \ge 2$.
- Tổng $n$ số hạng đầu tiên: Cho cấp số nhân $(u_n)$ với công bội $q \ne 1$, tổng $n$ số hạng đầu tiên được tính theo công thức:
$$S_n = u_1 + u_2 + \dots + u_n = \frac{u_1(1 – q^n)}{1 – q} = \frac{u_1(q^n – 1)}{q – 1}$$
Khác với công thức tính tổng của cấp số cộng có sự tăng trưởng tuyến tính, bài toán tính tổng các số hạng của cấp số nhân với công bội âm đòi hỏi học sinh cẩn thận khi lũy thừa số âm bậc chẵn và bậc lẻ.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Áp dụng công thức tính tổng $n$ số hạng đầu tiên của một cấp số nhân:
$$S_n = \frac{u_1(1 – q^n)}{1 – q}$$
Với $n = 8$, số hạng đầu $u_1 = 2$ và công bội $q = -3$, ta có:
$$S_8 = \frac{2 \cdot [1 – (-3)^8]}{1 – (-3)}$$
Ta tính lũy thừa $(-3)^8$:
$$(-3)^8 = 3^8 = 6561$$
Thay vào biểu thức của $S_8$, ta được:
$$S_8 = \frac{2 \cdot (1 – 6561)}{1 + 3} = \frac{2 \cdot (-6560)}{4} = \frac{-6560}{2} = -3280$$
👉 Chọn đáp án: B
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Trắc nghiệm 4 đáp án A, B, C, D)
Bài tập 1: Cho cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = 3$ và công bội $q = 2$. Tìm số hạng thứ $7$ của cấp số nhân đó.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Áp dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân: $u_n = u_1 \cdot q^{n-1}$.
Số hạng thứ $7$ là:
$$u_7 = u_1 \cdot q^6 = 3 \cdot 2^6 = 3 \cdot 64 = 192$$
👉 Chọn đáp án: C
Bài tập 2: Cho cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = 1$ và công bội $q = 3$. Tính tổng $7$ số hạng đầu tiên $S_7$ của cấp số nhân đã cho.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Áp dụng công thức tính tổng $n$ số hạng đầu tiên:
$$S_7 = \frac{u_1(1 – q^7)}{1 – q} = \frac{1 \cdot (1 – 3^7)}{1 – 3} = \frac{1 – 2187}{-2} = \frac{-2186}{-2} = 1093$$
👉 Chọn đáp án: A
Bài tập 3: Cho cấp số nhân $(u_n)$ có $u_1 = -3$ và công bội $q = -2$. Tìm số hạng thứ $9$ của cấp số nhân đó.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Công thức số hạng thứ $n$ của cấp số nhân: $u_n = u_1 \cdot q^{n – 1}$.
Với $n = 9$, ta có:
$$u_9 = u_1 \cdot q^8 = -3 \cdot (-2)^8 = -3 \cdot 256 = -768$$
👉 Chọn đáp án: B
Bài tập 4: Cho cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = -4$ và công bội $q = \frac{1}{2}$. Tính tổng $6$ số hạng đầu tiên $S_6$ của cấp số nhân đó.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
Áp dụng công thức tính tổng $6$ số hạng đầu tiên:
$$S_6 = \frac{u_1\left(1 – q^6\right)}{1 – q} = \frac{-4 \cdot \left[1 – \left(\frac{1}{2}\right)^6\right]}{1 – \frac{1}{2}} = \frac{-4 \cdot \left(1 – \frac{1}{64}\right)}{\frac{1}{2}} = -8 \cdot \frac{63}{64} = -\frac{63}{8}$$
👉 Chọn đáp án: C
Bài tập 5: Cho cấp số nhân $(u_n)$ có $u_1 = 54$ và công bội $q = -\frac{1}{3}$. Tìm số hạng thứ $5$ của cấp số nhân đó.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
Theo công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân:
$$u_5 = u_1 \cdot q^4 = 54 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^4 = 54 \cdot \frac{1}{81} = \frac{54}{81} = \frac{2}{3}$$
👉 Chọn đáp án: A
Để lại phản hồi