📌 Đề bài:
Một cuộc điều tra về thói quen đọc sách của $150$ sinh viên tại một trường đại học cho thấy: có $80$ sinh viên đọc sách Khoa học, $75$ sinh viên đọc sách Văn học, $65$ sinh viên đọc sách Lịch sử; $35$ sinh viên đọc cả sách Khoa học và Văn học, $30$ sinh viên đọc cả sách Khoa học và Lịch sử, $25$ sinh viên đọc cả sách Văn học và Lịch sử; $15$ sinh viên đọc cả ba loại sách trên. Hỏi:
a) Có bao nhiêu sinh viên không đọc loại sách nào trong ba loại sách trên?
b) Có bao nhiêu sinh viên đọc ít nhất hai loại sách?
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Đây là dạng bài toán ứng dụng thực tế của lý thuyết tập hợp, giải quyết bằng nguyên lý bù trừ (Inclusion-Exclusion Principle) hoặc phương pháp phân rã biểu đồ Ven, tương tự như các bài toán khảo sát sở thích môn học trong lớp.
- Công thức số phần tử hợp của 3 tập hợp:
$$|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| – (|A \cap B| + |B \cap C| + |C \cap A|) + |A \cap B \cap C|$$ - Số phần tử không thuộc tập nào: $N_{\text{ngoài}} = N – |A \cup B \cup C|$, với $N$ là tổng số đối tượng điều tra.
- Số phần tử thuộc ít nhất hai tập hợp:
Gồm phần tử thuộc đúng 2 tập hợp và phần tử thuộc cả 3 tập hợp:
$$N_{\ge 2} = (|A \cap B| + |B \cap C| + |C \cap A|) – 2|A \cap B \cap C|$$
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Gọi $E$ là tập hợp tất cả các sinh viên được khảo sát, ta có số phần tử $|E| = 150$.
Kí hiệu các tập hợp sinh viên theo sở thích đọc sách:
- $A$: Tập hợp sinh viên đọc sách Khoa học $\Rightarrow |A| = 80$.
- $B$: Tập hợp sinh viên đọc sách Văn học $\Rightarrow |B| = 75$.
- $C$: Tập hợp sinh viên đọc sách Lịch sử $\Rightarrow |C| = 65$.
Theo đề bài ta có số lượng sinh viên đọc các nhóm sách kết hợp:
- Sinh viên đọc cả Khoa học và Văn học: $|A \cap B| = 35$.
- Sinh viên đọc cả Khoa học và Lịch sử: $|A \cap C| = 30$.
- Sinh viên đọc cả Văn học và Lịch sử: $|B \cap C| = 25$.
- Sinh viên đọc cả ba loại sách: $|A \cap B \cap C| = 15$.
a) Tìm số sinh viên không đọc loại sách nào trong ba loại trên:
Số sinh viên đọc ít nhất một trong ba loại sách chính là số phần tử của tập hợp $A \cup B \cup C$:
$$|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| – (|A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C|) + |A \cap B \cap C|$$
$$|A \cup B \cup C| = 80 + 75 + 65 – (35 + 30 + 25) + 15 = 220 – 90 + 15 = 145$$
Vậy số sinh viên không đọc loại sách nào là:
$$|E| – |A \cup B \cup C| = 150 – 145 = 5\text{ (sinh viên)}$$
b) Tìm số sinh viên đọc ít nhất hai loại sách:
Nhóm sinh viên đọc ít nhất hai loại sách gồm những sinh viên đọc đúng $2$ loại sách và những sinh viên đọc cả $3$ loại sách:
- Số sinh viên chỉ đọc đúng hai loại Khoa học và Văn học: $|A \cap B| – |A \cap B \cap C| = 35 – 15 = 20$.
- Số sinh viên chỉ đọc đúng hai loại Khoa học và Lịch sử: $|A \cap C| – |A \cap B \cap C| = 30 – 15 = 15$.
- Số sinh viên chỉ đọc đúng hai loại Văn học và Lịch sử: $|B \cap C| – |A \cap B \cap C| = 25 – 15 = 10$.
Tổng số sinh viên chỉ đọc đúng hai loại sách là: $20 + 15 + 10 = 45$.
Số sinh viên đọc cả ba loại sách là: $15$.
Vậy số sinh viên đọc ít nhất hai loại sách là:
$$45 + 15 = 60\text{ (sinh viên)}$$
Ta cũng có thể tính nhanh theo công thức: $N_{\ge 2} = (|A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C|) – 2|A \cap B \cap C| = (35 + 30 + 25) – 2 \times 15 = 90 – 30 = 60$.
👉 Kết luận / Đáp án: a) 5 sinh viên; b) 60 sinh viên.
Phương pháp phân chia các miền độc lập trên biểu đồ Ven cũng được ứng dụng rộng rãi trong các dạng toán như khảo sát thực tế dịch vụ hay phân loại nhóm đối tượng.
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Có lời giải chi tiết)
Bài tập 1: Một lớp học có 40 học sinh, trong đó có 22 học sinh thích chơi bóng đá, 18 học sinh thích chơi bóng chuyền, và 8 học sinh thích cả hai môn. Hỏi có bao nhiêu học sinh không thích môn thể thao nào trong hai môn trên?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Số học sinh không thích môn nào: $40 – 32 = 8$ học sinh.
Đáp số: $8$ học sinh.
Bài tập 2: Trong cuộc khảo sát 60 khách hàng tại một siêu thị: có 35 người mua rau xanh, 28 người mua trái cây tươi, và 15 người mua cả hai mặt hàng này. Tìm số khách hàng chỉ mua đúng một trong hai loại mặt hàng nói trên.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Số người chỉ mua trái cây: $28 – 15 = 13$.
Số khách hàng chỉ mua đúng một loại mặt hàng: $20 + 13 = 33$ người.
Đáp số: $33$ người.
Bài tập 3: Một trường học có 100 giáo viên, trong đó có 45 giáo viên biết nói tiếng Anh, 30 giáo viên biết nói tiếng Pháp, 25 giáo viên biết nói tiếng Trung; 15 người biết cả tiếng Anh và Pháp, 10 người biết cả Anh và Trung, 8 người biết cả Pháp và Trung; 5 người biết cả 3 ngoại ngữ. Hỏi có bao nhiêu giáo viên không biết ngoại ngữ nào trong 3 thứ tiếng trên?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
$|A \cup P \cup T| = 45 + 30 + 25 – (15 + 10 + 8) + 5 = 100 – 33 + 5 = 72$.
Số giáo viên không biết ngoại ngữ nào trong 3 thứ tiếng: $100 – 72 = 28$ giáo viên.
Đáp số: $28$ giáo viên.
Bài tập 4: Một câu lạc bộ âm nhạc có 50 thành viên, gồm 28 người chơi được đàn Guitar, 24 người chơi được Piano và 12 người chơi được cả hai nhạc cụ. Có bao nhiêu người chỉ chơi được đúng đàn Guitar mà không chơi được Piano?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
Đáp số: $16$ người.
Bài tập 5: Điều tra sở thích xem phim của 80 người cho thấy: 40 người thích phim hành động, 35 người thích phim hài hước, 30 người thích phim hoạt hình; 15 người thích cả hành động và hài, 12 người thích cả hành động và hoạt hình, 10 người thích cả hài và hoạt hình; 6 người thích cả ba thể loại. Hỏi có bao nhiêu người chỉ thích đúng một thể loại phim?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
– Số người chỉ thích Hài: $35 – (15 – 6) – (10 – 6) – 6 = 35 – 9 – 4 – 6 = 16$.
– Số người chỉ thích Hoạt hình: $30 – (12 – 6) – (10 – 6) – 6 = 30 – 6 – 4 – 6 = 14$.
Tổng số người chỉ thích đúng 1 thể loại: $19 + 16 + 14 = 49$ người.
Đáp số: $49$ người.
Để lại phản hồi