[Bayes] Một nhà máy sản xuất bóng đèn có tỉ lệ bóng đèn đạt tiêu chuẩn là $80\%$

Một nhà máy sản xuất bóng đèn có tỉ lệ bóng đèn đạt tiêu chuẩn là $80\%$. Truớc khi xuất xưởng ra thị trường mỗi bóng đèn đều được qua kiểm tra chất lượng. Vì sự kiểm tra không thể tuyệt đối hoàn hảo, nên một bóng đèn tốt có xác suất $0{,}9$ được công nhận là tốt, và một bóng đèn hỏng có xác suất $0{,}95$ bị loại bỏ. Hãy tính tỉ lệ (theo phần trăm) bóng đạt tiêu chuẩn sau khi qua khâu kiểm tra chất lượng sản phẩm.
Đáp án: 98,6

Lời giải: Gọi $E_1$ là biến cố ” bóng đèn tốt”.
$E_2$ là biến cố ” bóng đèn hỏng”.
$E_c$ là biến cố ” bóng đèn đạt tiêu chuẩn”.
$A$ là biến cố ” Bóng đèn được đóng dấu đã kiểm tra”.
Ta có $\mathrm{P}\left(E_c\right)=0{,}8$; $\mathrm{P}\left(E_2\right)=0{,}2$; $\mathrm{P}\left(A |E_1\right)=0{,}9$ và $\mathrm{P}\left(A|E_2\right)=0{,}05$.
Do đó, xác suất của biến cố bóng đạt tiêu chuẩn sau khi qua khâu kiểm tra chất lượng sản phẩm là
$\mathrm{P}\left(E_c | A\right)=\dfrac{\mathrm{P}\left(E_1\right) \mathrm{P}\left(A | E_c\right)}{\mathrm{P}\left(E_c\right) \mathrm{P}\left(A | E_c\right)+\mathrm{P}\left(E_2\right) \mathrm{P}\left(A | E_2\right)}=\dfrac{0{,}8\cdot 0{,}9}{0{,}8\cdot 0{,}9+0{,}2\cdot 0{,}05}=0{,}986. $
Vậy tỉ lệ bóng đạt tiêu chuẩn sau khi qua khâu kiểm tra chất lượng sản phẩm là $98{,}6\%$.