[Bayes] Trước khi đưa sản phẩm ra thị trường; Công ty C đã phỏng vấn ngẫu nhiên $200$ khách hàng về sản phẩm đó và thấy có $50$ người trả lời ” sẽ mua”, $90$ người trả lời ” có thể sẽ mua” $\;$và $60$ người trả lời ” không mua”

Trước khi đưa sản phẩm ra thị trường; Công ty C đã phỏng vấn ngẫu nhiên $200$ khách hàng về sản phẩm đó và thấy có $50$ người trả lời ” sẽ mua”, $90$ người trả lời ” có thể sẽ mua” $\;$và $60$ người trả lời ” không mua”. Kinh nghiệm cho thấy tỷ lệ khách hàng thực sự sẽ mua sản phẩm tương ứng với những cách trả lời trên tương ứng là $60\%$, $40\%$ và $10\%$. Trong số khách hàng thực sự đã mua sản phẩm thì xác suất khách hàng trả lời ” sẽ mua” $là$\dfrac{a}{b}$(dạng phân số tối giản). Tính giá trị biểu thức$T=\dfrac{1}{2}a+b$.
Đáp án: 14,5

Lời giải: Gọi các biến cố sau $\bullet$$A$là biến cố ” Người được phỏng vấn sẽ mua sản phẩm”. $\bullet$$H_1$là biến cố ” Khách hàng trả lời phỏng vấn trả lời sẽ mua”. $\bullet$$H_2$là biến cố ” Khách hàng trả lời phỏng vấn trả lời có thể sẽ mua”. $\bullet$$H_3$là biến cố ” Khách hàng trả lời phỏng vấn trả lời không mua”. Từ đề bài ta có \begin{align*} \mathrm{P}(H_1)=\dfrac{50}{200}=0{,}25; \mathrm{P}(H_2)=\dfrac{90}{200}=0{,}45; \mathrm{P}(H_3)=\dfrac{60}{200}=0{,}3; \\ \mathrm{P}(A\mid H_1)=0{,}6; \mathrm{P}(A\mid H_2)=0{,}4; \mathrm{P}(A\mid H_3)=0{,}1. \end{align*} Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có \begin{align*} \mathrm{P}(A)&=\mathrm{P}(H_1) \cdot \mathrm{P}(A\mid H_1) +\mathrm{P}(H_2)\cdot \mathrm{P}(A\mid H_2)+\mathrm{P}(H_3)\cdot \mathrm{P}(A\mid H_3) \\ &=0{,}36. \end{align*} Suy ra \begin{align*} \mathrm{P}(H_1\mid A)=\dfrac{\mathrm{P}(H_1)\cdot \mathrm{P}(A\mid H_1)}{\mathrm{P}(A)}=\dfrac{0{,}25\cdot 0{,}6}{0{,}36}=\dfrac{5}{12}. \end{align*} Khi đó$a=5$,$b=12$và$T=\dfrac{1}{2}a+b=14{,}5$.