[Bayes] Một lớp học có số học sinh nữ chiếm 45% tổng số học sinh cả lớp

Một lớp học có số học sinh nữ chiếm 45% tổng số học sinh cả lớp. Cuối năm tổng kết, lớp học đó có tỉ lệ học sinh giỏi là nữ là 30%, học sinh giỏi là nam chiếm 40%. Giáo viên chủ nhiệm cần chọn 1 học sinh của lớp để đại diện cho lớp lên nhận thưởng. Biết rằng học sinh được chọn là học sinh giỏi. Tính xác suất để em đó là nữ.
Chú ý: Các kết quả làm tròn đến hàng phần trăm.
Đáp án: 0,38

Lời giải: Gọi $A$ là biến cố “học sinh được chọn là học sinh giỏi”
$B$ là biến cố “học sinh được chọn là học sinh nữ”.
Theo bài ra ta có: $P\left(B\right) = 0,45;\begin{array}{l}\end{array}P\left(\overline{B}\right) = 1- 0,45 = 0,55$.
Do lớp học đó có tỉ lệ học sinh giỏi là nữ là 30%, học sinh giỏi là nam chiếm 40% nên:
$P\left(A|B\right) = 0,3$ và $P\left(A|\overline{B}\right) = 0,4$.
Theo công thức xác suất toàn phần ta có:
$P\left(A\right) = P\left(B\right).P\left(A|B\right)+ P\left(\overline{B}\right).P\left(A|\overline{B}\right) = 0,45.0,3+ 0,55.0,4\simeq 0,36$.
Gọi $C$ là biến cố “học sinh giỏi được chọn là học sinh nữ” thì $C = B|A$ nên theo công thức Bayes ta có: $P\left(B|A\right) = \dfrac{P\left(B\right).P\left(A|B\right)}{P\left(A\right)} = \dfrac{0,45.0,3}{0,355}\simeq 0,38$.