[Bayes] Truờng X có $20\%$ học sinh tham gia câu lạc bộ thể thao, trong số học sinh đó có $85\%$ học sinh biết chơi môn bóng bàn

Truờng X có $20\%$ học sinh tham gia câu lạc bộ thể thao, trong số học sinh đó có $85\%$ học sinh biết chơi môn bóng bàn. Ngoài ra, có $10\%$ số học sinh không tham gia câu lạc bộ thể thao cũng biết chơi môn bóng bàn. Chọn ngẫu nhiên $1$ học sinh của trường. Giả sử học sinh đó biết chơi môn bóng bàn. Xác suất chọn được học sinh thuộc câu lạc bộ thể thao là $\dfrac{a}{b}$. Tính $a- b?$
Đáp án: -8

Lời giải: Xét các biến cố: $A$ : “Chọn được học sinh thuộc câu lạc bộ thể thao”;
$B$ : “Chọn được học sinh biết chơi bóng bàn”.
Khi đó, $P\left(A\right) = 0,2; P\left(\overline{A}\right) = 0,8; P\left(B|A\right) = 0,85; P\left(B|\overline{A}\right) = 0,1$.
Theo công thức xác suất toàn phần ta có:
$P\left(B\right) = P\left(A\right).P\left(B|A\right)+ P\left(\overline{A}\right).P\left(B|\overline{A}\right) = 0,2.0,85+ 0,8.0,1 = 0,25$.
Theo công thức Bayes, xác suất chọn được học sinh thuộc câu lạc bộ thể thao, biết học sinh đó chơi được môn bóng bàn là:
$P\left(A|B\right) = \dfrac{P\left(A\right).P\left(B|A\right)}{P\left(B\right)} = \dfrac{0,2.0,85}{0,25} = \dfrac{17}{25}$ nên $a = 17, b = 25\Rightarrow a- b = – 8$.