[Bayes] Tỷ lệ người nghiện thuốc lá tại một vùng là $30\%$

Tỷ lệ người nghiện thuốc lá tại một vùng là $30\%$. Biết rằng tỷ lệ người bị viêm họng trong số những người nghiện thuốc là $60\%$, còn tỷ lệ người bị viêm họng trong số những người không nghiện là $40\%$. Lấy ngẫu nhiên một người thấy người ấy không bị viêm họng. Tính xác suất người đó nghiện thuốc lá. (Làm tròn kết quả tới hàng phần trăm)
Đáp án: 0,22

Lời giải: Gọi $A$ là biến cố “Người này bị nghiện thuốc lá”; $B$ là biến cố “Người này không bị viêm họng”
Ta có $P\left(A\right) = 0,3\Rightarrow P\left(\widehat{A}\right) = 0,7$.
Tỷ lệ người bị viêm họng trong số người bị nghiện thuốc là $P\left(\widehat{B}|A\right) = 0,6$
Tỷ lệ người bị viêm họng trong số người không bị nghiện thuốc là $P\left(\widehat{B}|\widehat{A}\right) = 0,4$
Do đó $P\left(\widehat{B}\right) = P\left(A\right).P\left(\widehat{B}|A\right)+ P\left(\widehat{A}\right).P\left(\widehat{B}|\widehat{A}\right) = 0,3.0,6+ 0,7.0,4 = 0,46$.
Suy ra $P\left(B\right) = 1- P\left(\widehat{B}\right) = 0,54$.
$P\left(A|B\right) = \dfrac{P\left(A\right).P\left(B|A\right)}{P\left(B\right)} = \dfrac{0,3.0,4}{0,54} = \dfrac{2}{9}\approx 0,22$.