[Bayes] Giả sử bệnh hiểm nghèo $X$ có tỉ lệ nhiễm bệnh là $0,5\%$, xét nghiệm loại bệnh này có tỉ lệ dương tính giả là $4\%$

Giả sử bệnh hiểm nghèo $X$ có tỉ lệ nhiễm bệnh là $0,5\%$, xét nghiệm loại bệnh này có tỉ lệ dương tính giả là $4\%$. Khi xét nghiệm cho một người, ta gọi $A$ là biến cố “Người được chọn không nhiễm bệnh” và $B$ là biến cố “người được chọn có phản ứng dương tính”. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

*a) Người được chọn không nhiễm bệnh có tỉ lệ $P\left(A\right) = 0,995$.

*b) Tỉ lệ người không nhiễm bệnh trong số những người có phản ứng dương tính là
$P\left(B|A\right) = 0,04$.

c) Tỉ lệ người nhiễm bệnh trong số những người có phản ứng dương tính là $P\left(B|\overline{A}\right) = 0,005.$.

*d) Khả năng nhiễm bệnh của một người có phản ứng dương tính là $P\left(\overline{A}|B\right) = \dfrac{25}{224}$.

Lời giải: a) Đúng: Người được chọn không mắc bệnh có tỉ lệ $P\left(A\right) = 1- 0,5\% = 0,995$
b) Đúng: Do trong số những người không mắc bệnh có $4\%$ phản ứng dương tính nên
$P\left(B|A\right) = 0,04$.
c) Sai: Những người mắc bệnh đều có phản ứng dương tính nên $P\left(B|\overline{A}\right) = 1$.
d) Đúng: Khả năng mắc bệnh của một người có phản ứng dương tính là
$P\left(\overline{A}|B\right) = \dfrac{P\left(\overline{A}\right)P\left(B|\overline{A}\right)}{P\left(\overline{A}\right)P\left(B|\overline{A}\right)+ P\left(A\right)P\left(B|A\right)} = \dfrac{0,005.1}{0,005.1+ 0,995.0,04} = \dfrac{25}{224}.$
(Đúng) Người được chọn không nhiễm bệnh có tỉ lệ $P\left(A\right) = 0,995$
(Đúng) Tỉ lệ người không nhiễm bệnh trong số những người có phản ứng dương tính là
$P\left(B|A\right) = 0,04$.
(Sai) Tỉ lệ người nhiễm bệnh trong số những người có phản ứng dương tính là $P\left(B|\overline{A}\right) = 0,005.$
(Đúng) Khả năng nhiễm bệnh của một người có phản ứng dương tính là $P\left(\overline{A}|B\right) = \dfrac{25}{224}$.