[Bayes] Kết quả khảo sát tại một xã cho thấy có $25\%$ cư dân hút thuốc lá

Kết quả khảo sát tại một xã cho thấy có $25\%$ cư dân hút thuốc lá. Tỉ lệ cư dân thường xuyên gặp các vấn đề sức khoẻ về đường hô hấp trong số những người hút thuốc lá và không hút thuốc lá lần lượt là $60\%$ và $25\%$. Nếu ta gặp một cư dân của xã thường xuyên gặp các vấn đề sức khoẻ về đường hô hấp thì xác suất người đó có hút thuốc lá là bao nhiêu?

A. $\dfrac{5}{9}$.

B. $\dfrac{8}{9}$.

C. $\dfrac{7}{9}$.

*D. $\dfrac{4}{9}$.

Lời giải: Giả sử ta gặp một cư dân của xã, gọi $A$ là biến cố “Người đó có hút thuốc lá” và $B$ là biến cố “Người đó thường xuyên gặp các vấn đề sức khoẻ về đường hô hấp”. Ta có sơ đồ hình cây sau:

Ta có $P\left(B\right) = P\left(A\right).P\left(B∣A\right)+ P\left(\widehat{A}\right).P\left(B∣\widehat{A}\right) = 0,15+ 0,1875 = 0,3375$.
Theo công thức Bayes, ta có $P(A∣B) = \dfrac{P(A)P(B∣A)}{P(B)} = \dfrac{0,15}{0,3375} = \dfrac{4}{9}$.
Vậy nếu ta gặp một cư dân của xã thường xuyên gặp các vấn đề sức khoẻ về đường hô hấp thì xác suất người đó có hút thuốc lá là $\dfrac{4}{9}$.