Dạng toán và Phương pháp giải
Dạng toán: Bài toán tính xác suất có điều kiện sử dụng công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes.
Phương pháp giải:
- Bước 1: Xác định hệ biến cố đầy đủ. Thường là các trường hợp có thể xảy ra ở giai đoạn đầu của phép thử (ví dụ: khách hàng thuộc nhóm A, B hoặc C). Ký hiệu là $A_1, A_2, …, A_n$. Ta có $\sum P(A_i) = 1$.
- Bước 2: Gọi biến cố $X$ là sự kiện đã xảy ra ở giai đoạn sau (ví dụ: khách hàng bị nợ quá hạn). Xác định các xác suất điều kiện $P(X|A_i)$.
- Bước 3: Tính xác suất toàn phần của biến cố $X$ theo công thức: $P(X) = P(A_1)P(X|A_1) + P(A_2)P(X|A_2) + … + P(A_n)P(X|A_n)$.
- Bước 4: Áp dụng công thức Bayes để tính xác suất lật ngược (xác suất nguyên nhân khi biết kết quả). Ví dụ cần tính xác suất để xảy ra $A_k$ khi biết $X$ đã xảy ra: $P(A_k|X) = \frac{P(A_k)P(X|A_k)}{P(X)}$.
Đề bài
Một ngân hàng thống kê được khách hàng vay vốn gồm 3 nhóm: Nhóm A (tín dụng tốt) chiếm 50%, Nhóm B (tín dụng khá) chiếm 35%, và Nhóm C (tín dụng trung bình) chiếm 15%. Tỉ lệ khách hàng không trả nợ đúng hạn (nợ quá hạn) ở các nhóm lần lượt là 1%, 4% và 10%. Chọn ngẫu nhiên một khách hàng vay vốn thì thấy người này đang nợ quá hạn. Tính xác suất để khách hàng đó thuộc Nhóm C.
Lời giải chi tiết
Gọi $A_1$ là biến cố “Khách hàng được chọn thuộc Nhóm A”.
Gọi $A_2$ là biến cố “Khách hàng được chọn thuộc Nhóm B”.
Gọi $A_3$ là biến cố “Khách hàng được chọn thuộc Nhóm C”.
Rõ ràng $A_1, A_2, A_3$ lập thành một hệ biến cố đầy đủ. Theo đề bài ta có:
- $P(A_1) = 0,5$
- $P(A_2) = 0,35$
- $P(A_3) = 0,15$
Gọi $X$ là biến cố “Khách hàng được chọn nợ quá hạn”. Các xác suất có điều kiện là:
- $P(X|A_1) = 0,01$
- $P(X|A_2) = 0,04$
- $P(X|A_3) = 0,1$
Theo công thức xác suất toàn phần, xác suất chọn được một khách hàng nợ quá hạn là:
$$P(X) = P(A_1)P(X|A_1) + P(A_2)P(X|A_2) + P(A_3)P(X|A_3)$$
$$P(X) = 0,5 \times 0,01 + 0,35 \times 0,04 + 0,15 \times 0,1$$
$$P(X) = 0,005 + 0,014 + 0,015 = 0,034$$
Bài toán yêu cầu tính xác suất khách hàng thuộc Nhóm C khi biết người đó nợ quá hạn. Theo công thức Bayes, ta có:
$$P(A_3|X) = \frac{P(A_3)P(X|A_3)}{P(X)} = \frac{0,015}{0,034} = \frac{15}{34} \approx 0,4412$$
Kết luận: Xác suất để khách hàng nợ quá hạn đó thuộc Nhóm C là $\frac{15}{34}$ (khoảng 44,12%).
Bài tập tương tự
Bài 1
Tại một sân bay, dữ liệu thống kê cho thấy thời tiết chia làm hai mùa: mùa mưa chiếm 40% thời gian trong năm và mùa khô chiếm 60%. Tỉ lệ các chuyến bay bị hoãn vào mùa mưa là 20%, trong khi vào mùa khô chỉ là 5%. Chọn ngẫu nhiên một chuyến bay trong năm và biết rằng chuyến bay này đã bị hoãn. Tính xác suất để chuyến bay đó diễn ra vào mùa mưa.
Xem đáp án và lời giải
Gọi $A_1, A_2$ lần lượt là biến cố chuyến bay diễn ra vào mùa mưa và mùa khô. $P(A_1)=0,4; P(A_2)=0,6$.
Gọi $X$ là biến cố chuyến bay bị hoãn. Ta có $P(X|A_1)=0,2; P(X|A_2)=0,05$.
Xác suất chuyến bay bị hoãn (công thức toàn phần): $P(X) = 0,4 \times 0,2 + 0,6 \times 0,05 = 0,08 + 0,03 = 0,11$.
Xác suất chuyến bay diễn ra vào mùa mưa khi biết nó bị hoãn (công thức Bayes): $P(A_1|X) = \frac{0,08}{0,11} = \frac{8}{11}$.
Bài 2
Có 3 xạ thủ cùng bắn vào một mục tiêu. Xác suất bắn trúng mục tiêu của xạ thủ thứ nhất, thứ hai và thứ ba lần lượt là 0,8; 0,7 và 0.6. Chọn ngẫu nhiên một xạ thủ và yêu cầu người này bắn một viên đạn. Kết quả viên đạn đã trúng mục tiêu. Tính xác suất viên đạn đó do xạ thủ thứ nhất bắn.
Xem đáp án và lời giải
Gọi $A_1, A_2, A_3$ là biến cố chọn xạ thủ 1, 2, 3. Do chọn ngẫu nhiên nên $P(A_1) = P(A_2) = P(A_3) = \frac{1}{3}$.
Gọi $X$ là biến cố đạn trúng mục tiêu. $P(X|A_1)=0,8; P(X|A_2)=0,7; P(X|A_3)=0,6$.
Theo công thức toàn phần: $P(X) = \frac{1}{3} \times (0,8 + 0,7 + 0,6) = \frac{2,1}{3} = 0,7$.
Xác suất đạn do xạ thủ thứ nhất bắn: $P(A_1|X) = \frac{1/3 \times 0,8}{0,7} = \frac{8}{21}$.
Bài 3
Một học sinh làm bài thi trắc nghiệm. Xác suất để học sinh đó biết làm một câu hỏi là 60% và xác suất đánh lụi (chọn bừa) là 40%. Nếu biết làm, học sinh chắc chắn chọn đáp án đúng (xác suất 1). Nếu đánh lụi trong 4 đáp án, xác suất chọn đúng là 0,25. Câu đầu tiên học sinh đã trả lời đúng. Tính xác suất để thực sự học sinh đó biết làm câu này.
Xem đáp án và lời giải
Gọi $A_1$ là biến cố học sinh biết làm ($P(A_1)=0,6$), $A_2$ là biến cố học sinh đánh lụi ($P(A_2)=0,4$).
Gọi $X$ là biến cố học sinh trả lời đúng. $P(X|A_1)=1; P(X|A_2)=0,25$.
Xác suất học sinh trả lời đúng: $P(X) = 0,6 \times 1 + 0,4 \times 0,25 = 0,6 + 0,1 = 0,7$.
Xác suất học sinh biết làm khi đã trả lời đúng: $P(A_1|X) = \frac{0,6 \times 1}{0,7} = \frac{6}{7}$.
Bài 4
Một kho chứa hai loại hạt giống: Loại I chiếm 70% và Loại II chiếm 30%. Tỉ lệ nảy mầm của hạt giống Loại I là 95% và Loại II là 80%. Lấy ngẫu nhiên một hạt giống đem gieo thì thấy nó nảy mầm. Tính xác suất để hạt giống đó thuộc Loại II.
Xem đáp án và lời giải
Gọi $A_1, A_2$ là biến cố hạt giống loại I và loại II. $P(A_1)=0,7; P(A_2)=0,3$.
Gọi $X$ là biến cố hạt giống nảy mầm. $P(X|A_1)=0,95; P(X|A_2)=0,8$.
Xác suất hạt giống nảy mầm: $P(X) = 0,7 \times 0,95 + 0,3 \times 0,8 = 0,665 + 0,24 = 0,905$.
Xác suất hạt giống thuộc loại II: $P(A_2|X) = \frac{0,24}{0,905} = \frac{240}{905} = \frac{48}{181}$.
Bài 5
Một nhà hàng có 3 đầu bếp A, B, C phụ trách nấu các món ăn với tỉ lệ lần lượt là 40%, 35% và 25% tổng số món. Tỉ lệ món ăn bị khách hàng phàn nàn của đầu bếp A là 2%, của B là 3% và của C là 5%. Một thực khách đã phàn nàn về món ăn mà họ vừa dùng. Tính xác suất để món ăn đó do đầu bếp B nấu.
Xem đáp án và lời giải
Gọi $A_1, A_2, A_3$ là biến cố món ăn do đầu bếp A, B, C nấu. $P(A_1)=0,4; P(A_2)=0,35; P(A_3)=0,25$.
Gọi $X$ là biến cố món ăn bị phàn nàn. $P(X|A_1)=0,02; P(X|A_2)=0,03; P(X|A_3)=0,05$.
Xác suất món ăn bị phàn nàn: $P(X) = 0,4 \times 0,02 + 0,35 \times 0,03 + 0,25 \times 0,05 = 0,008 + 0,0105 + 0,0125 = 0,031$.
Xác suất món do đầu bếp B nấu: $P(A_2|X) = \frac{0,0105}{0,031} = \frac{105}{310} = \frac{21}{62}$.
Để lại phản hồi