Số giao điểm của đồ thị hàm số $y=x^{3} – 6 x^{2} + 9 x – 20$ và trục hoành là

Bài toán gốc

Số giao điểm của đồ thị hàm số $y=x^{3} – 6 x^{2} + 9 x – 20$ và trục hoành là

A. $0$.B. $3$.C. $2$.D. $1$.

Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm $x^{3} – 6 x^{2} + 9 x – 20=0$ có $1$ nghiệm.
Vậy số giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành là $1$ điểm.

Phân tích và Phương pháp giải

Dạng bài toán yêu cầu tìm số giao điểm của đồ thị hàm số bậc ba $y=f(x)$ với trục hoành ($y=0$). Số giao điểm chính là số nghiệm thực phân biệt của phương trình hoành độ giao điểm $f(x)=0$. Phương pháp giải chung cho hàm bậc ba là dựa vào bảng biến thiên và giá trị cực trị ($y_{CĐ}, y_{CT}$):

1. Nếu $y_{CĐ} \cdot y_{CT} < 0$: Phương trình có 3 nghiệm phân biệt (3 giao điểm).
2. Nếu $y_{CĐ} \cdot y_{CT} = 0$: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt (gồm 1 nghiệm đơn và 1 nghiệm kép) (2 giao điểm).
3. Nếu $y_{CĐ} \cdot y_{CT} > 0$ hoặc hàm số không có cực trị: Phương trình có 1 nghiệm duy nhất (1 giao điểm).

Bài toán tương tự

1. Số giao điểm của đồ thị hàm số $y=x^{3} – 3 x^{2} + 1$ và trục hoành là

A. $0$.B. $1$.C. $2$.D. $3$.

Đáp án đúng: D

Lời giải ngắn gọn: Xét phương trình $x^{3} – 3 x^{2} + 1 = 0$. Tính đạo hàm $y’ = 3x^2 – 6x$. $y’=0$ khi $x=0$ (CĐ) và $x=2$ (CT). Ta có $y_{CĐ} = y(0) = 1$ và $y_{CT} = y(2) = 8 – 12 + 1 = -3$. Vì $y_{CĐ} \cdot y_{CT} = 1 \cdot (-3) = -3 < 0$, nên phương trình có 3 nghiệm phân biệt. Số giao điểm là 3.

2. Số giao điểm của đồ thị hàm số $y=x^{3} + x – 1$ và trục hoành là

A. $0$.B. $1$.C. $2$.D. $3$.

Đáp án đúng: B

Lời giải ngắn gọn: Xét phương trình $x^{3} + x – 1 = 0$. Ta có $y’ = 3x^2 + 1$. Vì $y’ > 0$ với mọi $x$, hàm số luôn đồng biến và không có cực trị. Do đó, đồ thị cắt trục hoành tại duy nhất 1 điểm.

3. Số giao điểm của đồ thị hàm số $y=x^{3} – 6 x^{2} + 12 x – 8$ và trục hoành là

A. $0$.B. $1$.C. $2$.D. $3$.

Đáp án đúng: B

Lời giải ngắn gọn: Phương trình hoành độ giao điểm là $x^{3} – 6 x^{2} + 12 x – 8=0$, tương đương $(x-2)^3 = 0$. Phương trình có nghiệm duy nhất $x=2$ (nghiệm bội 3). Vậy đồ thị cắt trục hoành tại 1 điểm.

4. Số giao điểm của đồ thị hàm số $y=-x^{3} + 3 x + 2$ và trục hoành là

A. $0$.B. $1$.C. $2$.D. $3$.

Đáp án đúng: C

Lời giải ngắn gọn: Xét phương trình $-x^{3} + 3 x + 2 = 0$. Tính đạo hàm $y’ = -3x^2 + 3$. $y’=0$ khi $x=\pm 1$. Ta có $y_{CĐ} = y(1) = -1 + 3 + 2 = 4$ và $y_{CT} = y(-1) = 1 – 3 + 2 = 0$. Vì $y_{CĐ} \cdot y_{CT} = 4 \cdot 0 = 0$, nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Số giao điểm là 2.

5. Đồ thị hàm số $y = x^3 – 3x^2 – 9x + 5$ cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm phân biệt?

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Đáp án đúng: D

Lời giải ngắn gọn: Xét phương trình $x^3 – 3x^2 – 9x + 5 = 0$. Ta có $y’ = 3x^2 – 6x – 9$. $y’=0$ khi $x=3$ hoặc $x=-1$. Giá trị cực đại $y_{CĐ} = y(-1) = (-1)^3 – 3(-1)^2 – 9(-1) + 5 = 10$. Giá trị cực tiểu $y_{CT} = y(3) = (3)^3 – 3(3)^2 – 9(3) + 5 = -22$. Vì $y_{CĐ} \cdot y_{CT} = 10 \cdot (-22) = -220 < 0$, nên phương trình có 3 nghiệm thực phân biệt. Số giao điểm là 3.