Đồ thị dưới đây là của hàm số nào?

Bài toán gốc

Đồ thị dưới đây là của hàm số nào?

A. $y=\dfrac{x-3}{-x+2}$.B. $y=x^3-2x^2+2x-5$.

C. $y=\dfrac{x^2+x+2}{-x-1}$.D. $y=\dfrac{x^2+x+1}{-x-1}$.

Lời giải: Đây là dạng của đồ thị hàm bậc hai chia bậc nhất nên loại các phương án hàm bậc 3 và hàm phân thức bậc nhất chia bậc nhất.
Còn lại hai hàm Phân thức bậc hai chia bậc hai có cùng tiệm cận đứng và tiệm cận xiên nên sẽ lấy điểm thuộc đồ thị thay vào kiểm tra để phân biệt hai hàm số còn lại.

Phân tích và Phương pháp giải

Dạng bài toán là nhận dạng hàm số dựa trên hình dạng đồ thị, tập trung vào các hàm phân thức (bậc nhất/bậc nhất, bậc hai/bậc nhất) và hàm đa thức (bậc ba, bậc bốn). Phương pháp giải chủ yếu là sử dụng các yếu tố đặc trưng của đồ thị như: 1) Dạng hàm (đa thức/phân thức); 2) Tiệm cận đứng (TCD), Tiệm cận ngang (TCN) hoặc Tiệm cận xiên (TCX); 3) Hệ số $a$ (hành vi tại vô cực); 4) Các điểm đi qua (giao điểm với trục tọa độ, cực trị). Sau khi loại trừ dựa trên tiệm cận, ta sử dụng các điểm cụ thể thuộc đồ thị để xác định hàm số chính xác.

Bài toán tương tự

1. Đồ thị hàm số nào sau đây là một đường hypebol có tiệm cận đứng là $x=1$, tiệm cận ngang là $y=2$, và đi qua điểm $(0, -1)$?

A. $y = \dfrac{2x+2}{x-1}$ B. $y = \dfrac{2x+1}{x-1}$ C. $y = \dfrac{x+2}{x-1}$ D. $y = \dfrac{2x-1}{x+1}$

Đáp án đúng: B.

Lời giải ngắn gọn: TCD $x=1$ loại D. TCN $y=\dfrac{2}{1}=2$ loại C. Kiểm tra điểm $(0, -1)$: Thay $x=0$ vào A: $y = -2$. Thay $x=0$ vào B: $y = \dfrac{1}{-1} = -1$. Chọn B.

2. Hàm số bậc ba nào sau đây có đồ thị đi lên từ trái sang phải, cắt trục $Oy$ tại điểm có tung độ bằng 1, và có hai điểm cực trị?

A. $y = -x^3 + 3x + 1$ B. $y = x^3 – 3x^2 + 1$ C. $y = x^3 + 3x + 1$ D. $y = x^4 – 2x^2 + 1$

Đáp án đúng: B.

Lời giải ngắn gọn: Đồ thị đi lên từ trái sang phải và là hàm bậc ba $\implies$ Hệ số $a>0$. Loại A và D. Cắt $Oy$ tại $y=1$ (cho $x=0$) $\implies$ Cả B và C thỏa mãn. Hàm B có $y’ = 3x^2 – 6x = 3x(x-2)$, có 2 nghiệm $\implies$ 2 cực trị. Hàm C có $y’ = 3x^2 + 3 > 0$, không có cực trị. Chọn B.

3. Đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương nào sau đây có 3 cực trị (dạng chữ W), cắt trục $Oy$ tại $y=-2$ và đạt cực tiểu tại $y=-3$?

A. $y = x^4 – 4x^2 – 2$ B. $y = x^4 + 4x^2 – 2$ C. $y = -x^4 + 2x^2 – 2$ D. $y = x^4 – 2x^2 – 2$

Đáp án đúng: D.

Lời giải ngắn gọn: Đồ thị dạng chữ W $\implies a>0$ và có 3 cực trị $\implies ab<0$. Loại B và C. Cắt $Oy$ tại $y=-2$ $\implies c=-2$. Còn lại A và D. Hàm D: $y = x^4 – 2x^2 – 2$. Cực trị: $y’ = 4x^3 – 4x = 0 \implies x=0, x=\pm 1$. Cực tiểu tại $x=\pm 1$. $y(\pm 1) = 1 – 2 – 2 = -3$. Thỏa mãn. Chọn D.

4. Đồ thị hàm số nào sau đây có Tiệm cận đứng $x=-1$, Tiệm cận xiên $y=x$, và đi qua điểm $(0, -1)$?

A. $y = \dfrac{x^2+2x+1}{x+1}$ B. $y = \dfrac{x^2-1}{x+1}$ C. $y = \dfrac{x^2+x-1}{x+1}$ D. $y = \dfrac{x^2-2x-1}{x-1}$

Đáp án đúng: C.

Lời giải ngắn gọn: TCD $x=-1$ loại D. Hàm A và B rút gọn được thành đường thẳng (khi $x \ne -1$), không có TCX. Xét C: $y = \dfrac{x^2+x-1}{x+1} = x – \dfrac{1}{x+1}$. TCX là $y=x$. Thỏa mãn. Kiểm tra điểm $(0, -1)$: $y(0) = \dfrac{0+0-1}{0+1} = -1$. Chọn C.

5. Đồ thị là đường hypebol có TCD $x=-2$, TCN $y=-1$ và đi qua điểm $(0, 1/2)$. Hàm số nào sau đây có đồ thị đó?

A. $y = \dfrac{x+1}{x+2}$ B. $y = \dfrac{-x+1}{x+2}$ C. $y = \dfrac{-x+2}{x+2}$ D. $y = \dfrac{-x-1}{x+2}$

Đáp án đúng: B.

Lời giải ngắn gọn: TCD $x=-2$ và TCN $y=-1$. TCN $y=-1$ loại A (TCN $y=1$). Kiểm tra điểm $(0, 1/2)$. Thay $x=0$: B. $y = \dfrac{1}{2}$. Thỏa mãn. C. $y = 1$. (Sai). D. $y = -1/2$. (Sai). Chọn B.