Cho hàm số $y=\dfrac{2x+2}{2x-3}$ có đồ thị $\left( C \right)$

Cho hàm số $y=\dfrac{2x+2}{2x-3}$ có đồ thị $\left( C \right)$. Có bao nhiêu điểm $M$ thuộc $\left( C \right)$ sao cho khoảng cách từ điểm $M$ đến đường tiệm cận ngang bằng $10$ lần khoảng cách từ điểm $M$ đến đường tiệm cận đứng.
Đáp án: 2

Lời giải: Ta có các đường thẳng $x=\dfrac{3}{2}$ và $y=1$ lần lượt là đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số mà $M\in \left( C \right)\Rightarrow M\left( x;\dfrac{2x+2}{2x-3} \right)$ với $x\ne \dfrac{3}{2}$.
Khoảng cách từ điểm $M$ đến đường tiệm cận đứng bằng $\left| x-\dfrac{3}{2} \right|=\dfrac{\left| 2x-3 \right|}{2}$.
Khoảng cách từ điểm $M$ đến đường tiệm cận ngang bằng $\left| \dfrac{2x+2}{2x-3}-1 \right|=\dfrac{5}{\left| 2x-3 \right|}$.
Khi đó: $\dfrac{5}{\left| 2x-3 \right|}=10.\dfrac{\left| 2x-3 \right|}{2}$ $\Leftrightarrow {{\left( 2x-3 \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow 4{{x}^{2}}-12x+8=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=2 \\ x=1 \end{array} \right.\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} M\left( 2;6 \right) \\ M\left( 1;-4 \right) \end{array} \right.$.