Cho hàm số $y=\dfrac{{{x}^{2}}+x-1}{x-1}$. Tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Bài toán gốc

Cho hàm số $y=\dfrac{{{x}^{2}}+x-1}{x-1}$. Tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Đáp án: 6,32

Lời giải: Trả lời: 6,32
$\begin{array}{l} y=\dfrac{{{x}^{2}}+x-1}{x-1} \\ y’=\dfrac{{{x}^{2}}-2x}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}} \\ y’=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=0\Rightarrow y=-1\Rightarrow A\left( 0;-1 \right) \\ x=2\Rightarrow y=5\Rightarrow B\left( 2;5 \right) \end{array} \right. \\ \overrightarrow{AB}=\left( 2;6 \right)\Rightarrow AB=\sqrt{{{2}^{2}}+{{6}^{2}}}=2\sqrt{10}\approx 6.32 \end{array}$

Phân tích và Phương pháp giải

Đây là dạng bài toán tìm khoảng cách giữa hai điểm cực trị của hàm số phân thức bậc hai trên bậc nhất ($y = \dfrac{Ax^2+Bx+C}{Dx+E}$). Phương pháp giải là: 1. Tính đạo hàm y’. 2. Giải phương trình y’=0 để tìm hoành độ các điểm cực trị (phải đảm bảo các nghiệm này khác với nghiệm của mẫu số). 3. Thay hoành độ vào hàm số ban đầu để tìm tọa độ (x, y) của hai điểm cực trị A và B. 4. Áp dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm: $AB = \sqrt{(x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2}$.

Bài toán tương tự

Cho hàm số $y=\dfrac{{{x}^{2}}-3x+6}{x-2}$. Tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. Đáp án: $4\sqrt{5}$. Lời giải ngắn gọn: $y’=\dfrac{x^2-4x}{{(x-2)}^2}$. Phương trình $y’=0$ có hai nghiệm $x_1=0$ và $x_2=4$. Các điểm cực trị là $A(0; -3)$ và $B(4; 5)$. Khoảng cách $AB = \sqrt{(4-0)^2 + (5-(-3))^2} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$ (xấp xỉ 8.94).