Cho hàm số $y=\dfrac{{{x}^{2}}+x+1}{x-1}$. Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là $A$ và $B$, biết điểm $I\left( a;b \right)$ là trung điểm $AB$. Tính thì $a+b.$

Bài toán gốc

Cho hàm số $y=\dfrac{{{x}^{2}}+x+1}{x-1}$. Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là $A$ và $B$, biết điểm $I\left( a;b \right)$ là trung điểm $AB$. Tính thì $a+b.$
Đáp án: 4

Lời giải: Trả lời: 4
$y=\dfrac{{{x}^{2}}+x+1}{x-1}=x+2+\dfrac{3}{x-1}$
Tiệm cận đứng: $x=1$
Tiệm cận xiên: $y=x+2$
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là giao điểm của hai đường tiệm cận: $I\left( 1;3 \right)$.
Hai điểm cực trị đối xứng nhau qua $I\left( 1;3 \right)$ nên $I\left( 1;3 \right)$ cũng là trung điểm $AB$.
Vậy $a+b=1+3=4$.

Phân tích và Phương pháp giải

Đây là dạng bài toán tìm trung điểm của hai điểm cực trị của hàm số dạng $y=\dfrac{Ax^2+Bx+C}{Dx+E}$. Phương pháp giải dựa trên tính chất đối xứng của đồ thị hàm số này. Tâm đối xứng $I$ của đồ thị hàm số là giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận xiên. Do hai điểm cực trị $A$ và $B$ luôn đối xứng nhau qua tâm $I$, nên $I$ chính là trung điểm của đoạn $AB$. Ta cần tìm tọa độ tâm đối xứng $I(a; b)$ bằng cách xác định các đường tiệm cận.

Bài toán tương tự

Cho hàm số $y=\dfrac{2x^2-3x+5}{x-2}$. Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là $M$ và $N$. Biết điểm $K\left( a;b \right)$ là trung điểm $MN$. Tính giá trị của biểu thức $P = 2a – b$.
Đáp án: -1
Lời giải ngắn gọn:
Ta thực hiện phép chia đa thức: $y=\dfrac{2x^2-3x+5}{x-2} = 2x + 1 + \dfrac{7}{x-2}$.
Tiệm cận đứng là $x=2$.
Tiệm cận xiên là $y=2x+1$.
Tâm đối xứng $K(a; b)$ là giao điểm của hai tiệm cận, nên $a=2$ và $b = 2(2) + 1 = 5$. Vậy $K(2; 5)$.
Vì $K$ là trung điểm của hai điểm cực trị, ta có $a=2$ và $b=5$.
Giá trị cần tìm là $P = 2a – b = 2(2) – 5 = 4 – 5 = -1$.