Bài toán Cho đường tròn tâm $O$, bán kính bằng 2 . Trên đường tròn, lấy 6 điểm chia đều đường tròn, lần lượt là $A,B,C,D,E,F$. Vẽ cung tròn $C_{1}$ tiếp xúc với hai đoạn thẳng $OA$ và $OB$, đi qua hai điểm $A$ và $B$. Tương tự, vẽ cung tròn $C_{2}$ tiếp xúc với hai đoạn thẳng $OB$ và $OC$, đi qua hai điểm $B$ và $C$. Tiếp tục bằng cách tương tự, ta vẽ các cung tròn $C_{3},C_{4},C_{5},C_{6}$ tiếp xúc với các cặp đoạn thẳng liên tiếp tạo bởi các điểm trên.
Hỏi: Diện tích phần được bao bởi 6 cung tròn $C_{1}$ đến $C_{6}$ là bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)
Lòi giải
Trả lòi: 3,46
Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ
Ta dễ có được góc $AOF=\dfrac{\pi }{3}$ suy ra đường thẳng $OA:y=\sqrt {3} x$ do đó điểm $A\left(1;\sqrt {3} \right)$
Để tiện tính toán: Ta xét riêng diện tích tô đậm được tạo bởi cung tròn $C_{1}$ với hai đoạn thẳng $OA;OB$
Dễ thấy được đường cong $C_{1}$ là đồ thị hàm số parabol đối xứng qua trục $Oy$. Do đó hàm số parapol đó có dạng: $y=ax^{2}+b$ và đồ thị hàm số này đi qua điểm $A,B$.
Ta có: $\left\{\begin{array}{*{20}{l}}a+b=\sqrt {3} \\2a=\sqrt {3} \end{array}\Rightarrow \left\{\begin{array}{*{20}{l}}a=\dfrac{\sqrt {3} }{2}\\b=\dfrac{\sqrt {3} }{2}\end{array}\right. \right. $. Vậy $\left(C_{1}\right):y=\dfrac{\sqrt {3} }{2}x^{2}+\dfrac{\sqrt {3} }{2}$
Khi đó diện tích tô đậm được tạo bởi cung tròn $C_{1}$ với hai đoạn thẳng $OA;OB$ là:
Suy ra diện tích phần được bao bởi 6 cung tròn $C_{1}$ đến $C_{6}$ là
Để lại phản hồi