Một kho chứa hàng có dạng hình lăng trụ đứng $ABFPE$.DCGQH với $ABFE$ là hình chữ nhật và $EFP$ là tam giác cân tại $P$. Gọi $T$ là trung điểm của $DC$. Các kích thước của kho chứa lần lượt là $AB=6\mathrm{\,\;m};AE=5\mathrm{\,\;m};AD=8\mathrm{\,\;m};QT=7\mathrm{\,\;m}$.

Bài toán: Một kho chứa hàng có dạng hình lăng trụ đứng $ABFPE$.DCGQH với $ABFE$ là hình chữ nhật và $EFP$ là tam giác cân tại $P$. Gọi $T$ là trung điểm của $DC$. Các kích thước của kho chứa lần lượt là $AB=6\mathrm{\,\;m};AE=5\mathrm{\,\;m};AD=8\mathrm{\,\;m};QT=7\mathrm{\,\;m}$. Người ta mô hình hoá nhà kho bằng cách chọn hệ trục toạ độ có gốc toạ độ là điểm $O$ thuộc đoạn $AD$ sao cho $OA=2\mathrm{\,\;m}$ và các trục tọa độ tương ứng như hình vẽ dưới đây. Khi đó:

a) Toạ độ điểm $Q$ là $\left(-6;3;5\right)$. b) Véc tơ $\overrightarrow {OC} $ có toạ độ là $\left(-6;6;0\right)$. c) Người ta muốn lắp camera quan sát trong nhà kho tại vị trí trung điểm của $FG$ và đầu thu dữ liệu đặt tại vị trí $O$. Người ta thiết kế đường dây cáp nối từ $O$ đến $K$ sau đó nối thẳng đến camera. Độ dài đoạn cáp nối tối thiểu bằng $5+2\sqrt {10} \mathrm{\,\;m}$. d) Mái nhà được lợp bằng tôn Hoa Sen, giá tiền mỗi mét vuông tôn là 130.000 đồng. Số tiền cần bỏ ra để mua tôn lợp mái nhà là 3.750 .000 đồng (không kể hao phí do việc cắt và ghép các miếng tôn, làm tròn kết quả đến hàng nghìn). Lòi giải :

(a) Kẻ $TM\bot Oy,CN\bot Oy$. Vì $T$ là hình chiếu của $Q$ lên ( $Oxy$ ) nên $\left\{\begin{array}{*{20}{l}}x_{Q}=x_{T}=-OD=-\left(AD-OA\right)=-6\\y_{Q}=y_{T}=OH=\dfrac{AB}{2}=3\end{array}.\mathrm{\,\;V\`a \;}z_{Q}=QT=7.\mathrm{\,\;Suy\;ra\;}Q\left(-6;3;7\right).\right. $ (b) Vì $C\in \left(Oxy\right)$ nên $z_{C}=0$. Ta có $\left\{\begin{array}{*{20}{l}}x_{C}=-OD=-6\\y_{C}=ON=AB=6\end{array}\right. $, suy ra $C\left(-6;6;0\right)$. Vậy $\overrightarrow {OC} =\left(-6;6;0\right)$. (c) Gọi $L$ là trung điểm của $FG$. Ta có: $z_{K}=OK=AE=5$. Suy ra $K\left(0;0;5\right)\Rightarrow OK=5$. $B,C$ lần lượt là hình chiếu của $F,G$ lên $\left(Oxy\right)$. Suy ra $F\left(2;6;5\right),G\left(-6;6;5\right)$. Mà $L$ là trung điểm của $FG$ nên $L\left(-2;6;5\right)\Rightarrow KL=2\sqrt {10} $. Vậy độ dài đoạn cáp tối thiểu từ $O$ đến $K$ sau đó nối thẳng đến camera là $OK+KL=5+2\sqrt {10} \left(\mathrm{\,\;m}\right)$ (d) $FG=\sqrt {(-6-2)^{2}+(6-6)^{2}+(5-5)^{2}} =8$ (m). $GQ=\sqrt {(-6+6)^{2}+(3-6)^{2}+(7-5)^{2}} =\sqrt {13} \left(\mathrm{\,\;m}\right)$. Suy ra $S_{FGQP}=FG\cdot GQ=8\sqrt {13} \left(\mathrm{\,\;}\mathrm{\,m}^{2}\right)$. Diện tích lợp tôn mái nhà là $2S_{FGQP}=16\sqrt {13} \left(\mathrm{\,\;}\mathrm{\,m}^{2}\right)$. Số tiền cần bỏ ra để mua tôn lợp mái nhà là $16\sqrt {13} \cdot 130000\approx 7500000$ đồng).