Biết đồ thị hàm số $y=\frac{1}{4} x^{4}-(3 m+1) x^{2}+2(m+1)$ có ba điểm cực trị $A, B, C$ sao cho $\triangle A B C$ nhận gốc tọa độ $O$ làm trọng tâm. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Biết đồ thị hàm số $y=\frac{1}{4} x^{4}-(3 m+1) x^{2}+2(m+1)$ có ba điểm cực trị $A, B, C$ sao cho $\triangle A B C$ nhận gốc tọa độ $O$ làm trọng tâm. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. $m=\frac{1}{3}$.
B. $m=-\frac{2}{3}$.
C. $m=1$.
D. $m=0$.

Ta có $y^{\prime}=x^{3}-2(3 m+1) x=x\left(x^{2}-6 m-2\right)=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=0 \\ x^{2}=6 m+2 .\end{array}\right.$

Để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị thì $(*)$ phải có hai nghiệm phân biệt khác $0 \Leftrightarrow m>-\frac{1}{3}$.

Khi đó, đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là

$$
A(0 ; 2(m+1)), B\left(\sqrt{6 m+2} ; 2(m+1)-(3 m+1)^{2}\right), C\left(-\sqrt{6 m+2} ; 2(m+1)-(3 m+1)^{2}\right) .
$$

Để tam giác $A B C$ nhận $O$ làm trọng tâm thì

$$
\left\{\begin{array}{l}
x_{A}+x_{B}+x_{C}=0 \\
y_{A}+y_{B}+y_{C}=0
\end{array} \Leftrightarrow 6(m+1)-2(3 m+1)^{2}=0 \Leftrightarrow m=\frac{1}{3} \vee m=-\frac{2}{3} .\right.
$$

So điều kiện, nhận $m=\frac{1}{3}$.