Giải SGK Toán 11 Bài 3: Hàm số liên tục – CTST

GIẢI CHI TIẾT Giải SGK Toán 11 Bài 3: Hàm số liên tục – SÁCH GIÁO KHOA CHÂN TRỜI SÁNG TẠO

================
Giải bài tập Toán lớp 11 Bài 3: Hàm số liên tục
$\underset{x\to 1^{-}}{\text{lim}}\text{S}\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\text{lim}}\left(\sqrt{1-x^2}.x\right)=0$.
Bài tập
Bài 1 trang 84 Toán 11 Tập 1:Xét tính liên tục của hàm số sau:
a) f(x) =tại điểm x = 0;
b) f(x) =tại điểm x = 1.
Lời giải:
a) Tại x = 0, ta có:
$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\left(x^2+1\right)=1$;
$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\left(1-x\right)=1$.
Suy ra$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=1$. Do đó$\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=1$
Mà f(0) = 0²+ 1 = 1 nên$\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=f\left(0\right)=1$.
Vậy hàm số đã cho liên tục tại điểm x = 0.
b) Tại x = 1 ta có:
$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\left(x^2+2\right)=3$;
$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }x=1$.
Suy ra$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)\ne \underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)$. Do đó không tồn tại$\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)$.
Vậy hàm số không liên tục tại x = 1.
Bài 2 trang 84 Toán 11 Tập 1:Cho hàm số f(x) =. Tìm a để hàm số f(x) liên tục trên ℝ.
Lời giải:
Ta có:
$\underset{x\to -2}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -2}{\lim }\frac{x^2-4}{x+2}=\underset{x\to -2}{\lim }\frac{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{x+2}=\underset{x\to -2}{\lim }\left(x-2\right)=-4$.
f(-2) = a.
Để hàm số f(x) liên tục trên ℝ thì hàm số liên tục tại x = – 2
$\iff \underset{x\to -2}{\lim }f\left(x\right)$= f(-2)
$\iff$a = -4
Vậy a = – 4 thì hàm số đã cho liên tục trên ℝ.
Bài 3 trang 85 Toán 11 Tập 1:Xét tính liên tục của hàm số sau:
a) f(x) =$\frac{x}{x^2-4}$;
b) g(x) =$\sqrt{9–x^2}$;
c) h(x) = cosx + tanx.
Lời giải:
a) Tập xác định của hàm số D = ℝ {– 2; 2}.
Hàm số f(x) =$\frac{x}{x^2-4}$liên tục tại mọi điểm khác – 2 và 2.
b) Tập xác định của hàm số D = [– 2; 2].
Hàm số g(x) =$\sqrt{9–x^2}$liên tục trên [– 2; 2].
c) Tập xác định của hàm số: D = R.
Hàm số y = cosx hoặc y = tanx đều liên tục trên các khoảng xác định của nó.
Vậy h(x) = cosx + tanx liên tục trên từng khoảng xác định.
Bài 4 trang 85 Toán 11 Tập 1:Cho hàm số f(x) = 2x – sinx, g(x) =$\sqrt{x-1}$. Xét tính liên tục của hàm số y = f(x).g(x) và y =$\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$.
Lời giải:
+) Xét hàm số y = f(x).g(x) có tập xác định D = [1; +∞).
Hàm số f(x) = 2x – sinx, g(x) =$\sqrt{x-1}$đều liên tục trên D.
Vậy hàm số y = f(x).g(x) liên tục trên D.
+) Xét hàm số y =$\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$có tập xác định D = (1; +∞).
Hàm số f(x) = 2x – sinx, g(x) =$\sqrt{x-1}$đều liên tục trên D.
Vậy hàm số y =$\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$liên tục trên D.
Bài 5 trang 85 Toán 11 Tập 1:Một bãi đậu xe ô tô đưa ra giá C(x) (đồng) khi thời gian đậu xe là x (giờ) như sau:
C(x) =
Xét tính liên tục của hàm số C(x).
Lời giải:
+) Với x ∈ (0; 2) ta có: C(x) = 60 000 nên hàm số liên tục trên (0; 2).
+) Với x ∈ (2; 4) ta có: C(x) = 100 000 nên hàm số liên tục trên (2; 4).
+) Với x ∈ (4; 24) ta có: C(x) = 200 000 nên hàm số liên tục trên (4; 24).
+) Tại x = 2 ta có:$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }C\left(x\right)=60000\ne 100000=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }C\left(x\right)$. Suy ra không tồn tại$\underset{x\to 2}{\lim }C\left(x\right)$.
+) Tại x = 4 ta có:$\underset{x\to 4^{-}}{\lim }C\left(x\right)=100000\ne 200000=\underset{x\to 4^{+}}{\lim }C\left(x\right)$. Suy ra không tồn tại$\underset{x\to 4}{\lim }C\left(x\right)$.
Bài 6 trang 85 Toán 11 Tập 1:Lực hấp dẫn do Trái Đất tác dụng lên một đơn vị khối lượng ở khoảng cách r tính từ tâm của nó là F(r) =trong đó M là khối lượng, R là bán kính của Trái Đất, G là hằng số hấp dẫn. Hàm số F(r) có liên tục trên (0; +∞) không?
Lời giải:
+) Ta có: y =$\frac{GMr}{R^3}$liên tục trên (0; R) và y =$\frac{GM}{r^2}$liên tục trên (R; + ∞).
+) Tại r = R, ta có:
$\underset{r\to R^{-}}{\lim }F\left(r\right)=\underset{r\to R^{-}}{\lim }\frac{GMr}{R^3}=\frac{GM}{R^2}$
$\underset{r\to R^{+}}{\lim }F\left(r\right)=\underset{r\to R^{-}}{\lim }\frac{GM}{r^2}=\frac{GM}{R^2}$
Suy ra$\underset{r\to R^{-}}{\lim }F\left(r\right)=\underset{r\to R^{+}}{\lim }F\left(r\right)$. Do đó$\underset{r\to R}{\lim }F\left(r\right)=\frac{GM}{R^2}$
Mà$F\left(R\right)=\frac{GM}{R^2}$nên$\underset{r\to R}{\lim }F\left(r\right)=F\left(R\right)=\frac{GM}{R^2}$
Suy ra hàm số liên tục tại x = R.
Vậy hàm số liên tục trên (0; +∞).

==== ~~~~~~ ====

=============
THUỘC: Giải bài tập Toán 11 – CHÂN TRỜI SÁNG TẠO