Giải Bài 1. Elip – Chuyên đề Toán 10 (Chân trời)
===========
Giải mục 1 trang 42, 43 Chuyên đề học tập Toán 10
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
HĐ1
Cho elip (E) có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) \((0 < b < a)\) và cho điểm \(M({x_0};{y_0})\) nằm trên (E). Các điểm \({M_1}( – {x_0};{y_0}),{M_2}({x_0}; – {y_0}),{M_3}( – {x_0}; – {y_0})\) có thuộc (E) hay không?
Lời giải chi tiết:
Nếu điểm \(M({x_0};{y_0})\) thuộc elip thì \(\frac{{{x_0}^2}}{{{a^2}}} + \frac{{{y_0}^2}}{{{b^2}}} = 1\)
\( \Rightarrow \frac{{{x_0}^2}}{{{a^2}}} + \frac{{{{( – {y_0})}^2}}}{{{b^2}}} = 1;\frac{{{{( – {x_0})}^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y_0}^2}}{{{b^2}}} = 1;\frac{{{{( – {x_0})}^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{{( – {y_0})}^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
hay các điểm có tọa độ \({M_1}( – {x_0};{y_0}),{M_2}({x_0}; – {y_0}),{M_3}( – {x_0}; – {y_0})\) cũng thuộc Elip.
Thực hành 1
Viết phương trình chính tắc của elip có kích thước của hình chữ nhật cơ sở là 8 và 6. Hãy xác định tọa độ đỉnh, tiêu điểm, tiêu cự, độ dài trục của elip này.
Phương pháp giải:
Cho elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) \((0 < b < a)\)
+ 4 đỉnh là \({A_1}\left( { – a;0} \right),{A_2}\left( {a;0} \right),{B_1}\left( {0; – b} \right),{B_2}\left( {0;b} \right).\)
+ Kích thước của hình chữ nhật cơ sở là 2a và 2b.
+ Tiêu điểm \({F_1}( – c;0),{F_2}(c;0),\)
+ Tiêu cự: \(2c = 2\sqrt {{a^2} – {b^2}} \)
+ Độ dài trục lớn: \(2a\), độ dài trục nhỏ: \(2b\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
+ Kích thước của hình chữ nhật cơ sở là 8 và 6.
\( \Rightarrow \) Độ dài trục lớn: \(2a = 8 \Leftrightarrow a = 4\), độ dài trục nhỏ: \(2b = 6 \Leftrightarrow b = 3\)
Phương trình chính tắc của elip là: \(\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\)
+ 4 đỉnh là \({A_1}\left( { – 4;0} \right),{A_2}\left( {4;0} \right),{B_1}\left( {0; – 3} \right),{B_2}\left( {0;3} \right).\)
+ Tiêu điểm \({F_1}( – c;0),{F_2}(c;0),\)
+ Tiêu cự: \(2c = 2\sqrt {{4^2} – {3^2}} = 2\sqrt 7 \)
+ Độ dài trục lớn: \(2a = 8\), độ dài trục nhỏ: \(2b = 6\)
Vận dụng 1
Hãy gấp một mảnh giấy hình elip (Hình 5) thành 4 phần chồng khít lên nhau
Lời giải chi tiết:
Tưởng tượng elip có phương trình chính tắc trên mặt phẳng tọa độ, khi đó ta chỉ cần gập theo các trục tọa độ.
Giải mục 2 trang 44 Chuyên đề học tập Toán 10
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
HĐ2
Cho điểm \(M(x;y)\)nằm trên elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) có hai tiêu điểm \({F_1}( – c;0),{F_2}(c;0)\) (Hình 6).
a) Tính \({F_1}{M^2}\) và \({F_2}{M^2}\) theo \(x,y,c.\)
b) Chứng tỏ rằng \({F_1}{M^2} – {F_2}{M^2} = 4cx,\;{F_1}M – {F_2}M = 2\frac{{cx}}{a}\)
c) Tính độ dài hai đoạn \(M{F_1},M{F_2}\) theo \(a,c,x.\)
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \(\overrightarrow {M{F_1}} ( – c – x; – y);\overrightarrow {M{F_2}} (c – x; – y)\)
\( \Rightarrow M{F_1}^2 = {( – c – x)^2} + {( – y)^2};M{F_2}^2 = {(c – x)^2} + {( – y)^2}\)
b) \({F_1}{M^2} – {F_2}{M^2} = {( – c – x)^2} – {(c – x)^2} = 4cx\)
Mà \({F_1}M + {F_2}M = 2a\) (do \(M \in (E)\))
\( \Rightarrow \;{F_1}M – {F_2}M = \frac{{{F_1}{M^2} – {F_2}{M^2}}}{{{F_1}M + {F_2}M}} = 2\frac{{cx}}{a}\)
c)
\(\begin{array}{l}M{F_1} = \frac{{2a + \frac{{2c}}{a}x}}{2} = a + \frac{c}{a}x\\M{F_2} = \frac{{2a – \frac{{2c}}{a}x}}{2} = a – \frac{c}{a}x\end{array}\)
Thực hành 2
a) Tính độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm \(M(x,y)\) trên (E): \(\frac{{{x^2}}}{{64}} + \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1\)
b) Tìm các điểm trên elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) có độ dài hai bán kính qua tiêu bằng nhau.
Phương pháp giải:
Cho PTCT: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
Độ dài bán kính qua tiêu của điểm \(M(x,y)\) trên (E) là:
\(M{F_1} = a + \frac{c}{a}x;M{F_2} = a – \frac{c}{a}x.\)
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \({a^2} = 64,{b^2} = 36 \Rightarrow a = 8,b = 6 \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} – {b^2}} = 2\sqrt 7 \)
Độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm \(M(x,y)\) là:
\(M{F_1} = 8 + \frac{{\sqrt 7 }}{4}x;M{F_2} = 8 – \frac{{\sqrt 7 }}{4}x.\)
b) Độ dài bán kính qua tiêu của điểm \(M(x,y)\) trên (E) là:
\(M{F_1} = a + \frac{c}{a}x;M{F_2} = a – \frac{c}{a}x.\)
Để độ dài hai bán kính qua tiêu bằng nhau thì \(a + \frac{c}{a}x = a – \frac{c}{a}x\)
\( \Leftrightarrow \frac{c}{a}x = – \frac{c}{a}x \Leftrightarrow x = 0\)
Mà \(M(x,y) \in (E)\) \( \Rightarrow \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow y = \pm b\)
Vậy tại các điểm \({B_1}\left( {0; – b} \right),{B_2}\left( {0;b} \right)\) thì độ dài hai bán kính qua tiêu bằng nhau.
Vận dụng 2
Người ta chứng minh được rằng ánh sáng hay âm thanh đi từ một tiêu điểm, khi đến một điểm M bất kì trên elip luôn luôn cho tia phản xạ đi qua tiêu điểm còn lại, nghĩa là đi theo các bán kính qua tiêu (Hình 7a).
Vòm xe điện ngầm của một thành phố có mặt cát hình elip (Hình 7b). Hãy giải thích tại sao tiếng nói của một người phát ra từ một tiêu điểm bên này, mặc dù khi đi đến các điểm khác nhau trên elip vẫn luôn dội lại tới tiêu điểm bên kia cùng một lúc.
Phương pháp giải:
Cho elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
Với M bất kì thuộc Elip, ta luôn có: \(M{F_1} + M{F_2} = 2a\)
Lời giải chi tiết:
Gọi PTCT của elip biểu diễn vòm xe điện ngầm là: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
Với M bất kì thuộc Elip, ta luôn có: \(M{F_1} + M{F_2} = 2a\)
Nói cách khác tiếng nói phát ra từ một tiêu điểm bên này, khi đi đến các điểm khác nhau trên elip vẫn luôn tới tiêu điểm bên kia với cùng một quãng đường là \(2a\).
Do đó tiếng nói vẫn luôn dội lại tới tiêu điểm bên kia cùng một lúc.
Giải mục 3 trang 45, 46 Chuyên đề học tập Toán 10
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
HĐ3
Cho biết tỉ số \(e = \frac{c}{a}\) của các elip lần lượt là \(\frac{3}{4},\frac{1}{2},\frac{1}{4}\)(Hình 8). Tính tỉ số \(\frac{b}{a}\) theo \(e\) và nêu nhận xét về sự thay đổi của hình dạng elip gắn với hình chữ nhật cơ sở khi \(e\) thay đổi.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\frac{b}{a} = \frac{{\sqrt {{a^2} – {c^2}} }}{a} = \sqrt {1 – \frac{{{c^2}}}{{{a^2}}}} = \sqrt {1 – {e^2}} \)
Do đó:
– Khi tâm sai e càng bé (tức là càng gần 0) thì b càng gần a và elip trông càng “béo”.
– Khi tâm sai e càng lớn (tức là càng gần 1) thì tỉ số \(\frac{b}{a}\) càng gần 0 và elip trông càng “dẹt”.
Thực hành 3
a) Tìm tâm sai của elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{99}} = 1\) và elip (E’): \(\frac{{{x^2}}}{{10}} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\)
b) Không cần vẽ hình, theo bạn elip nào có hình dạng “dẹt” hơn?
Phương pháp giải:
Cho elip có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).
\(c = \sqrt {{a^2} – {b^2}} \)
+ Tâm sai của elip: \(e = \frac{c}{a}\)
+ Khi tâm sai e càng lớn (tức là càng gần 1) thì elip trông càng “dẹt”.
Lời giải chi tiết:
a) Elip (E) có \({a^2} = 100,{b^2} = 99\), suy ra \(c = \sqrt {{a^2} – {b^2}} = 1,e = \frac{c}{a} = \frac{1}{{10}}.\)
Elip (E’) có \({a^2} = 10,{b^2} = 1\), suy ra \(c = \sqrt {{a^2} – {b^2}} = 3,e = \frac{c}{a} = \frac{3}{{\sqrt {10} }}.\)
b) Ta thấy \(\frac{3}{{\sqrt {10} }} > \frac{1}{{10}}\), vậy elip (E’) “dẹt” hơn elip (E).
Vận dụng 3
Trong hệ Mặt Trời, các hành tinh chuyển động theo quỹ đạo là đường elip nhận tâm Mặt Trời là một tiêu điểm. Từ hình ảnh mô phỏng quỹ đạo chuyển động của các hành tinh (Hình 9), hãy so sánh tâm sai của quỹ đạo chuyển động của Trái Đất với tâm sai quỹ đạo chuyển động của tiểu hành tinh HD20782b.
(Nguồn: https://www.nasa.gov)
Phương pháp giải:
+ Khi tâm sai e càng lớn (tức là càng gần 1) thì elip trông càng “dẹt”.
Lời giải chi tiết:
Ta thấy quỹ đạo của tiểu hành tinh HD20782b dẹt hơn quỹ đạo của Trái Đất, suy ra tâm sai của elip quỹ đạo chuyển động của tiểu hành tinh lớn hơn tâm sai của elip quỹ đạo chuyển động của Trái Đất.
Giải mục 4 trang 46, 47 Chuyên đề học tập Toán 10
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
HĐ4
Cho điểm \(M(x;y)\) trên elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)và hai đường thẳng \({\Delta _1}:x + \frac{a}{e} = 0\) và \({\Delta _2}:x – \frac{a}{e} = 0\) (Hình 10). Gọi \(d(M,{\Delta _1});d(M,{\Delta _2})\) lần lượt là khoảng cách từ M đến \({\Delta _1},{\Delta _2}.\) Ta có \(d(M,{\Delta _1}) = \left| {x + \frac{a}{e}} \right| = \frac{{\left| {a + ex} \right|}}{e} = \frac{{a + ex}}{e}\) (vì \(e > 0\) và \(a + ex = M{F_1} > 0\)).
Suy ra \(\frac{{M{F_1}}}{{d(M,{\Delta _1})}} = \frac{{a + ex}}{{\frac{{a + ex}}{e}}} = e\)
Dựa theo cách tính trên, hãy tính \(\frac{{M{F_2}}}{{d(M,{\Delta _2})}}\)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(d(M,{\Delta _2}) = \left| {x – \frac{a}{e}} \right| = \frac{{\left| {a – ex} \right|}}{e} = \frac{{a – ex}}{e}\) (vì \(e > 0\) và \(a – ex = M{F_2} > 0\)).
Suy ra \(\frac{{M{F_2}}}{{d(M,{\Delta _2})}} = \frac{{a – ex}}{{\frac{{a – ex}}{e}}} = e\)
Thực hành 4
Tìm tọa độ hai tiêu điểm và viết phương trình hai đường chuẩn tương ứng của các elip sau:
a) \(({E_1}):\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\)
b) \(({E_2}):\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1\)
Phương pháp giải:
Cho elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).
+ Ứng với tiêu điểm \({F_1}( – c;0)\), có đường chuẩn \({\Delta _1}:x + \frac{a}{e} = 0\)
+ Ứng với tiêu điểm \({F_2}(c;0)\), có đường chuẩn \({\Delta _2}:x – \frac{a}{e} = 0\)
Lời giải chi tiết:
a) Elip \(({E_1})\) có \(a = 2,b = 1\), suy ra \(c = \sqrt {{a^2} – {b^2}} = \sqrt 3 ,e = \frac{c}{a} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\)
+ Ứng với tiêu điểm \({F_1}( – \sqrt 3 ;0)\), có đường chuẩn \({\Delta _1}:x + \frac{{4\sqrt 3 }}{3} = 0\)
+ Ứng với tiêu điểm \({F_2}\left( {\sqrt 3 ;0} \right)\), có đường chuẩn \({\Delta _2}:x – \frac{{4\sqrt 3 }}{3} = 0\)
b) Elip \(({E_2})\) có \(a = 10,b = 6\), suy ra \(c = \sqrt {{a^2} – {b^2}} = 8,e = \frac{c}{a} = \frac{4}{5}.\)
+ Ứng với tiêu điểm \({F_1}( – 8;0)\), có đường chuẩn \({\Delta _1}:x + \frac{{25}}{2} = 0\)
+ Ứng với tiêu điểm \({F_2}\left( {8;0} \right)\), có đường chuẩn \({\Delta _2}:x – \frac{{25}}{2} = 0\)
Vận dụng 4
Lập phương trình chính tắc của elip có tiêu cự bằng 6 và khoảng cách giữa hai đường chuẩn là \(\frac{{50}}{3}\).
Phương pháp giải:
Cho elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).
+ Tiêu cự: \(2c = 2\sqrt {{a^2} – {b^2}} \)
+ Khoảng cách giữa hai đường chuẩn là: \(\frac{{2a}}{e}\)
Lời giải chi tiết:
< b < a)\)
+ Tiêu cự: \(2c = 6 \Leftrightarrow c = 3\)
+ Khoảng cách giữa hai đường chuẩn là: \(\frac{{2a}}{e} = 2.\frac{{{a^2}}}{c} = \frac{{50}}{3} \Rightarrow {a^2} = 100\)
Hay \(a = 10\), suy ra \({b^2} = {a^2} – {c^2} = 91\)
Vậy elip cần tìm là \(\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{91}} = 1\)
Giải bài 1 trang 47 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo
Đề bài
Cho elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{64}} + \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1\)
a) Tìm tâm sai, chiều dài, chiều rộng hình chữ nhật cơ sở của (E) và vẽ (E)
b) Tìm độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm \(M(0;6)\) trên (E).
c) Tìm tọa độ hai tiêu điểm và viết phương trình hai đường chuẩn của (E).
Cho elip \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), \(c = \sqrt {{a^2} – {b^2}} \)
a)
+ Tâm sai của elip: \(e = \frac{c}{a}\)
+ Chiều dài hình chữ nhật cơ sở: 2a.
+ Chiều rộng hình chữ nhật cơ sở: 2b.
b) Bán kính qua tiêu của \(M(x;y)\): \(M{F_1} = a + ex,\;M{F_2} = a – ex.\)
c)
+ Ứng với tiêu điểm \({F_1}( – c;0)\), có đường chuẩn \({\Delta _1}:x + \frac{a}{e} = 0\)
+ Ứng với tiêu điểm \({F_2}(c;0)\), có đường chuẩn \({\Delta _2}:x – \frac{a}{e} = 0\)
Lời giải chi tiết
Elip \((E)\) có \(a = 8,b = 6\), suy ra \(c = \sqrt {{a^2} – {b^2}} = 2\sqrt 7 .\)
a)
+ Tâm sai của elip: \(e = \frac{c}{a} = \frac{{\sqrt 7 }}{4}\)
+ Chiều dài hình chữ nhật cơ sở: \(2a = 16\)
+ Chiều rộng hình chữ nhật cơ sở: \(2b = 12\)
b) Bán kính qua tiêu của \(M(0;6)\): \(M{F_1} = 8 + \frac{{\sqrt 7 }}{4}.0 = 8,\;M{F_2} = 8 – \frac{{\sqrt 7 }}{4}.0 = 8.\)
c)
+ Ứng với tiêu điểm \({F_1}( – 2\sqrt 7 ;0)\), có đường chuẩn \({\Delta _1}:x + \frac{{32\sqrt 7 }}{7} = 0\)
+ Ứng với tiêu điểm \({F_2}(2\sqrt 7 ;0)\), có đường chuẩn \({\Delta _2}:x – \frac{{32\sqrt 7 }}{7} = 0\)
Giải bài 2 trang 48 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo
Đề bài
Tìm các điểm trên elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) có độ dài hai bán kính qua tiêu nhỏ nhất, lớn nhất.
Lời giải chi tiết
Elip \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) có nửa tiêu cự bằng \(c = \sqrt {{a^2} – {b^2}} \).
Với mỗi điểm \(M({x_0};{y_0})\) thuộc elip, ta có bán kính qua tiêu của M ứng với tiêu điểm \({F_1}\) là \(M{F_1} = a + \frac{c}{a}{x_0}\), ứng với tiêu điểm \({F_2}\) là \(M{F_2} = a – \frac{c}{a}{x_0}\)
Mặt khác \(M({x_0};{y_0})\) thuộc elip nên \( – a \le {x_0} \le a\).
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a – c \le M{F_1} = a + \frac{c}{a}{x_0} \le a + c\\a – c \le M{F_2} = a – \frac{c}{a}{x_0} \le a + c\end{array} \right.\)
Hơn nữa,
\(\begin{array}{l}M{F_1} = a – c \Leftrightarrow {x_0} = – a,{y_0} = 0\\M{F_1} = a + c \Leftrightarrow {x_0} = a,{y_0} = 0\\M{F_2} = a – c \Leftrightarrow {x_0} = a,{y_0} = 0\\M{F_1} = a + c \Leftrightarrow {x_0} = – a,{y_0} = 0\end{array}\)
Vậy \(M{F_1}\) nhỏ nhất bằng \(a – c\) khi M trùng \({A_1}( – a;0)\) và lớn nhất bằng \(a + c\) khi M trùng \({A_2}(a;0)\); \(M{F_2}\) nhỏ nhất bằng \(a – c\) khi M trùng \({A_2}(a;0)\) và lớn nhất bằng \(a + c\) khi M trùng \({A_1}( – a;0)\).
Giải bài 3 trang 48 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo
Đề bài
Lập phương trình chính tắc của elip có tiêu cự bằng 12 và khoảng cách giữa hai đường chuẩn là \(\frac{{169}}{6}\)
Cho elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).
+ Tiêu cự: \(2c = 2\sqrt {{a^2} – {b^2}} \)
+ Khoảng cách giữa hai đường chuẩn là: \(\frac{{2a}}{e}\)
Lời giải chi tiết
Gọi elip (E) cần tìm là: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\). \((0 < b < a)\)
+ Tiêu cự: \(2c = 12 \Leftrightarrow c = 6\)
+ Khoảng cách giữa hai đường chuẩn là: \(\frac{{2a}}{e} = 2.\frac{{{a^2}}}{c} = \frac{{169}}{6} \Rightarrow {a^2} = \frac{{169}}{2}\)
Suy ra \({b^2} = {a^2} – {c^2} = \frac{{97}}{2}\)
Vậy PTCT của elip là (E): \(\frac{{{x^2}}}{{\frac{{169}}{2}}} + \frac{{{y^2}}}{{\frac{{97}}{2}}} = 1\)
Giải bài 4 trang 48 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo
Đề bài
Cho elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\).
a) Tìm tâm sai và độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm \(M(3;0)\) trên (E).
b) Tìm điểm N trên (E) sao cho \(N{F_1} = N{F_2}\)
c) Tìm điểm S trên (E) sao cho \(S{F_1} = 2S{F_2}\)
Cho elip \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), \(c = \sqrt {{a^2} – {b^2}} \)
+ Tâm sai của elip: \(e = \frac{c}{a}\)
+ Bán kính qua tiêu của \(M(x;y)\): \(M{F_1} = a + ex,\;M{F_2} = a – ex.\)
Lời giải chi tiết
Elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\) có \(a = 3,b = 1 \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} – {b^2}} = 2\sqrt 2 \)
a) + Tâm sai của elip: \(e = \frac{c}{a} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\)
+ Bán kính qua tiêu của \(M(3;0)\): \(M{F_1} = 3 + \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.3 = 3 + 2\sqrt 2 ,\;M{F_2} = 3 – \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.3 = 3 – 2\sqrt 2 .\)
b) \(N{F_1} = N{F_2} \Leftrightarrow 3 + \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.{x_N} = 3 – \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.{x_N}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{4\sqrt 2 }}{3}.{x_N} = 0 \Leftrightarrow {x_N} = 0 \Rightarrow {y_N} = \pm 1\)
Vậy \(N(0;1)\) hoặc \(N(0; – 1)\)
c) \(S{F_1} = S{F_2} \Leftrightarrow 3 + \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.{x_S} = 2\left( {3 – \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.{x_S}} \right)\)
\( \Leftrightarrow \frac{{6\sqrt 2 }}{3}.{x_S} = 3 \Leftrightarrow {x_S} = \frac{{3\sqrt 2 }}{4} \Rightarrow {y_S} = \pm \sqrt {1 – \frac{{{{\left( {\frac{{3\sqrt 2 }}{4}} \right)}^2}}}{9}} = \pm \frac{{\sqrt {14} }}{4}\)
Vậy \(S\left( {\frac{{3\sqrt 2 }}{4};\frac{{\sqrt {14} }}{4}} \right)\) hoặc \(S\left( {\frac{{3\sqrt 2 }}{4}; – \frac{{\sqrt {14} }}{4}} \right)\)
Giải bài 5 trang 48 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo
Đề bài
Trái Đất chuyển động theo một quỹ đạo là đường elip có tâm sai là 0,0167 và nhận tâm Mặt trời là một tiêu điểm. Cho biết khoảng cách gần nhất giữa Trái Đất và tâm Mặt Trời là khoảng 147 triệu km, tính khoảng cách xa nhất giữa Trái Đất và tâm Mặt Trời.
(Nguồn: https://www.universetoday.com)
Cho PTCT: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), \({F_1}( – c;0)\) là một tiêu điểm.
+ Tâm sai của elip: \(e = \frac{c}{a}\)
Điểm M bất kì thuộc elip, khi đó:
\(M{F_1}\) nhỏ nhất bằng \(a – c\) khi M trùng \({A_1}( – a;0)\)
\(M{F_1}\) lớn nhất bằng \(a + c\) khi M trùng \({A_2}(a;0)\)
Lời giải chi tiết
Gọi PTCT của quỹ đạo hình elip đó là: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\),
+ Tâm sai của elip: \(e = \frac{c}{a} = 0,0167\) (1)
Giả sử Mặt trời là tiêu điểm \({F_1}( – c;0)\).
Điểm M bất kì thuộc elip là vị trí của Trái Đất trong quỹ đạo, khi đó:
\(M{F_1}\) nhỏ nhất bằng \(a – c = 147\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(a \approx 149,5;c \approx 2,5\)
\(M{F_1}\) lớn nhất bằng \(a + c = 149,5 + 2,5 = 152\)
Vậy khoảng cách xa nhất giữa Trái Đất và tâm Mặt Trời là \(152\) triệu km.
Giải bài 6 trang 48 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo
Đề bài
Ngày 04/10/1957, Liên Xô đã phóng thành công vệ tinh nhân tạo đầu tiên vào không gian, vệ tinh mang tên Sputnik I. Vệ tinh đó có quỹ đạo hình elip (E) nhận tâm Trái Đất là một tiêu điểm. Cho biết khoảng cách xa nhất giữa vệ tinh và tâm Trái Đất là 7310 km và khoảng cách gần nhất giữa vệ tinh và tâm Trái Đất là 6586 km. Tìm tâm sai của quỹ đạo chuyển động của vệ tinh Sputnik I.
(Nguồn: https://vi.wikipedia.org)
Cho PTCT: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), \({F_1}( – c;0)\) là một tiêu điểm.
+ Tâm sai của elip: \(e = \frac{c}{a}\)
Điểm M bất kì thuộc elip, khi đó:
\(M{F_1}\) nhỏ nhất bằng \(a – c\) khi M trùng \({A_1}( – a;0)\)
\(M{F_1}\) lớn nhất bằng \(a + c\) khi M trùng \({A_2}(a;0)\)
Lời giải chi tiết
Gọi PTCT của quỹ đạo hình elip đó là: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\),
Giả sử tâm Trái Đất là tiêu điểm \({F_1}( – c;0)\).
Điểm M bất kì thuộc elip là vị trí của vệ tinh trong quỹ đạo, khi đó:
\(M{F_1}\) nhỏ nhất bằng \(a – c = 6586\)
\(M{F_1}\) lớn nhất bằng \(a + c = 7310\)
\( \Rightarrow a = 6948;c = 362\)
\( \Rightarrow \)Tâm sai của elip: \(e = \frac{c}{a} \approx 0,0521\)
Vậy tâm sai của quỹ đạo chuyển động của vệ tinh là 0,0521.
Trả lời