Giải Bài tập cuối chuyên đề 3 – Chuyên đề Toán 10 (Kết nối)

Giải Bài tập cuối chuyên đề 3 – Chuyên đề Toán 10 (Kết nối)
======

Giải bài 3.21 trang 61 Chuyên đề học tập Toán 10

Đề bài

Cho đường conic (S) có tâm sai bằng 2, một tiêu điểm \(F( – 2;5)\) và đường chuẩn tương ứng với tiêu điểm đó là \(\Delta: x + y – 1 = 0\). Chứng minh rằng, điểm \(M(x;y)\) thuộc đường conic (S) khi và chỉ khi \({x^2} + {y^2} + 4xy – 8x + 6y – 27 = 0\) (được gọi là phương trình của (S), tuy vậy không phải là phương trình chính tắc). Hỏi (S) là đường gì trong ba đường conic?

Cho đường conic có tâm sai \(e > 0\), đường chuẩn \(\Delta \) không đi qua tiêu điểm F.

Khi đó: \(\frac{{MF}}{{d(M,\Delta )}} = e\) với M bất kì thuộc conic đó.

Lời giải chi tiết

Điểm \(M(x;y)\) thuộc đường conic khi và chỉ khi

\(\begin{array}{l}\frac{{MF}}{{d(M,\Delta )}} = 2 \Leftrightarrow \sqrt {{{(x + 2)}^2} + {{(y – 5)}^2}}  = 2\frac{{\left| {x + y – 1} \right|}}{{\sqrt 2 }}\\ \Leftrightarrow {(x + 2)^2} + {(y – 5)^2} = 2.{\left( {x + y – 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 4 + {y^2} – 10y + 25 = 2.\left( {{x^2} + {y^2} – 2x – 2y + 2xy + 1} \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 4xy – 8x + 6y – 27 = 0\end{array}\)

Vì \(e = 2 > 1\) nên đường conic là đường hypebol.

 

Giải bài 3.22 trang 61 Chuyên đề học tập Toán 10

Đề bài

Viết phương trình đường conic biết tâm sai bằng \(e = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\), một tiêu điểm \(F( – 1;0)\) và đường chuẩn tương ứng \(\Delta: x + y + 1 = 0\)

Cho đường conic có tâm sai \(e > 0\), đường chuẩn \(\Delta \) không đi qua tiêu điểm F.

Khi đó: \(\frac{{MF}}{{d(M,\Delta )}} = e\) với M bất kì thuộc conic đó.

Lời giải chi tiết

Điểm \(M(x;y)\) thuộc đường conic khi và chỉ khi

\(\begin{array}{l}\frac{{MF}}{{d(M,\Delta )}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow \sqrt 2 \sqrt {{{(x + 1)}^2} + {y^2}}  = \frac{{\left| {x + y + 1} \right|}}{{\sqrt 2 }}\\ \Leftrightarrow 4\left[ {{{(x + 1)}^2} + {y^2}} \right] = {\left( {x + y + 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 4.\left( {{x^2} + {y^2} + 2x + 1} \right) = {x^2} + {y^2} + 2x + 2y + 2xy + 1\\ \Leftrightarrow 3{x^2} + 3{y^2} – 2xy + 6x – 2y – 3 = 0\end{array}\)

Vậy đường conic có phương trình là \(3{x^2} + 3{y^2} – 2xy + 6x – 2y – 3 = 0\)

Vì \(0 < \frac{1}{{\sqrt 2 }} < 1\) nên đường conic là đường elip.

 

Giải bài 3.23 trang 61 Chuyên đề học tập Toán 10

Đề bài

Chứng minh rằng đồ thị của hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\;(a \ne 0)\) là một parabol có tiêu điểm là \(F(\frac{{ – b}}{{2a}};\frac{{1 – \Delta }}{{4a}})\) và đường chuẩn là \(y =  – \frac{{1 + \Delta }}{{4a}}\), trong đó \(\Delta  = {b^2} – 4ac.\)

Lời giải chi tiết

Lấy \(M(x;a{x^2} + bx + c)\) bất kì thuộc đồ thị hàm số.

 Để đồ thị của hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\;(a \ne 0)\) là một parabol có tiêu điểm là \(F(\frac{{ – b}}{{2a}};\frac{{1 – \Delta }}{{4a}})\) và đường chuẩn là \(y =  – \frac{{1 + \Delta }}{{4a}}\) thì \(\frac{{MF}}{{d(M,\Delta )}} = e = 1\)

Ta có: \(MF = \sqrt {{{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)}^2} + {{\left( {a{x^2} + bx + c – \frac{{1 – {b^2} + 4ac}}{{4a}}} \right)}^2}} \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow M{F^2} = {\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} + {\left( {a{x^2} + bx – \frac{{1 – {b^2}}}{{4a}}} \right)^2}\\ \Rightarrow 16{a^2}M{F^2} = 4{\left( {2ax + b} \right)^2} + {\left( {4{a^2}{x^2} + 4abx – 1 + {b^2}} \right)^2}\\ = 4{\left( {2ax + b} \right)^2} + {\left( {{{\left( {2ax + b} \right)}^2} – 1} \right)^2} = {\left( {{{\left( {2ax + b} \right)}^2} + 1} \right)^2}\end{array}\)

\(\begin{array}{l} + )\;d(M,\Delta ) = \left| {a{x^2} + bx + c + \frac{{1 + {b^2} – 4ac}}{{4a}}} \right| = \left| {a{x^2} + bx + \frac{{1 + {b^2}}}{{4a}}} \right|\\ \Rightarrow {d^2}(M,\Delta ) = {\left( {a{x^2} + bx + \frac{{1 + {b^2}}}{{4a}}} \right)^2}\\ \Rightarrow 16{a^2}d(M,\Delta ) = {\left( {4{a^2}{x^2} + 4abx + 1 + {b^2}} \right)^2} = {\left( {{{\left( {2ax + b} \right)}^2} + 1} \right)^2}\end{array}\)

\( \Rightarrow \frac{{MF}}{{d(M,\Delta )}} = e = 1\) (đpcm)

 

Giải bài 3.24 trang 61 Chuyên đề học tập Toán 10

Đề bài

Cho hai parabol có phương trình \({y^2} = 2px\) và \(y = a{x^2} + bx + c\;(a \ne 0)\). Chứng minh rằng nếu hai parabol đó cắt nhau tại bốn điểm phân biệt thì bốn điểm đó cùng nằm trên đường tròn (C): \({x^2} + {y^2} + \left( {\frac{b}{a} – 2p} \right)x – \frac{1}{a}y + \frac{c}{a} = 0\)

Lời giải chi tiết

Nếu hai parabol cắt nhau tại bốn điểm phân biệt thì tọa độ của bốn điểm đó thỏa mãn:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{y^2} = 2px\\y = a{x^2} + bx + c\;(a \ne 0)\;\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y^2} = 2px\\\frac{1}{a}y = {x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}\;\end{array} \right.\\ \Rightarrow \frac{1}{a}y + {y^2} = {x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}\; – 2px\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + \left( {\frac{b}{a} – 2p} \right)x – \frac{1}{a}y + \frac{c}{a} = 0\;(dpcm)\end{array}\)

Giải bài 3.25 trang 61 Chuyên đề học tập Toán 10

Đề bài

Cho elip có phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\). Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm \(M(2;1)\) và cắt elip tại hai điểm A, B sao cho \(MA = MB\)

Lời giải chi tiết

Gọi d là đường thẳng đi qua điểm \(M(2;1)\) và cắt elip tại hai điểm A, B sao cho \(MA = MB\).

\( \Rightarrow {x_A} + {x_B} = 2{x_M} = 4;{y_A} + {y_B} = 2{y_M} = 2.\)

A, B thuộc elip nên \(\frac{{{x_A}^2}}{{25}} + \frac{{{y_A}^2}}{{16}} = 1 = \frac{{{x_B}^2}}{{25}} + \frac{{{y_B}^2}}{{16}}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{{x_A}^2}}{{25}} – \frac{{{x_B}^2}}{{25}} + \frac{{{y_A}^2}}{{16}} – \frac{{{y_B}^2}}{{16}} = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{4\left( {{x_A} – {x_B}} \right)}}{{25}} + \frac{{2\left( {{y_A} – {y_B}} \right)}}{{16}} = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{{x_A} – {x_B}}}{{25}} =  – \frac{{{y_A} – {y_B}}}{{32}}\\ \Rightarrow \overrightarrow {BA}  = \left( {{x_A} – {x_B};{y_A} – {y_B}} \right) = k\left( {25; – 32} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \)  VTPT của d là \(\overrightarrow n (32;25)\)

PT đường thẳng d qua M(2;1) nhận \(\overrightarrow n (32;25)\) làm VTPT là:

\(32(x – 2) + 25(y – 1) = 0 \Leftrightarrow 32x + 25y – 89 = 0\)

 

Giải bài 3.26 trang 61 Chuyên đề học tập Toán 10

Đề bài

Một tàu vũ trụ nằm trong một quỹđạo tròn và ở độ cao 148 km so với bề mặt Trái Đât (H.3.27). Sau khi đạt được vận tốc cần thiết để thoát khỏi lực hấp dẫn của Trái Đất, tàu vũ trụ sẽ đi theo quỹ đạo parabol với tâm Trái Đất là tiêu điểm; điểm khởi đầu của quỹ đạo này là đỉnh parabol quỹ đạo.

a) Viết phương trình chính tắc của parabol quỹ đạo (1 đơn vị đo trên mặt phẳng toạ độ ứng với 1 km trên thực tế, lấy bán kính Trái Đất là 6 371 km).

b) Giải thích vì sao, kể từ khi đi vào quỹ đạo parabol, càng ngày, tàu vũ trụ càng cách xa Trái Đất.

a) Bước 1: Gọi (E) và (E’) là 2 elip có cùng tâm sai.

Bước 2: Lấy M bất kì thuộc (E), chỉ ra tồn tại M’ thuộc (E’) thỏa mãn:

\(\overrightarrow {OM’}  = \frac{1}{k}\overrightarrow {OM} \)

b) Với \(M({x_0};{y_0})\) bất kì thuộc (E), ta có:

\(M{F_1}\) nhỏ nhất bằng \(a – c = {88.10^6}\)

\(M{F_1}\) lớn nhất bằng \(a + c\)

Lời giải chi tiết

a) Gọi phương trình chính tắc của quỹ đạo parabol là \({y^2} = 2px\)

Ta có: OF = 148 + 6371 = 6519 (km)

Tâm Trái Đất là tiêu điểm nên \(\frac{p}{2} = 6519 \Leftrightarrow p = 13038\)

\( \Rightarrow \) PTCT của quỹ đạo parabol là \({y^2}\; = 26076x.\)

b) Gọi vị trí của tàu vụ trụ là M(x; y).

Khoảng cách từ tàu đến tâm Trái Đất là \(MF = x + \frac{p}{2}\)

Kể từ khi đi vào quỹ đạo parabol, hoành độ x của tàu vũ trụ sẽ ngày càng tăng, do đó tàu ngày càng xa Trái Đất.