Có bao nhiêu cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn \({\log _3}\left( {{x^2} + {y^2} + x} \right) + {\log _2}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \le {\log _3}x + {\log _2}\left( {{x^2} + {y^2} + 24x} \right)?\)

Có bao nhiêu cặp số nguyên \((x;y)\) thỏa mãn

\({\log _3}\left( {{x^2} + {y^2} + x} \right) + {\log _2}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \le {\log _3}x + {\log _2}\left( {{x^2} + {y^2} + 24x} \right)?\)

A. 89.

 B. 48.

 C. 90.

 D. 49.

Lời giải:

Chọn B

Điều kiện: \(x > 0\) .

Ta có: \({\log _3}\left( {{x^2} + {y^2} + x} \right) + {\log _2}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \le {\log _3}x + {\log _2}\left( {{x^2} + {y^2} + 24x} \right)\)

\( \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{x^2} + {y^2} + x} \right) – {\log _3}x \le {\log _2}\left( {{x^2} + {y^2} + 24x} \right) – {\log _2}\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\)

\( \Leftrightarrow {\log _3}\left( {\frac{{{x^2} + {y^2} + x}}{x}} \right) \le {\log _2}\left( {\frac{{{x^2} + {y^2} + 24x}}{{{x^2} + {y^2}}}} \right)\)\( \Leftrightarrow {\log _3}\left( {1 + \frac{{{x^2} + {y^2}}}{x}} \right) \le {\log _2}\left( {1 + \frac{{24x}}{{{x^2} + {y^2}}}} \right)\)

\( \Leftrightarrow {\log _3}\left( {\frac{{{x^2} + {y^2}}}{x} + 1} \right) – {\log _2}\left( {1 + \frac{{24x}}{{{x^2} + {y^2}}}} \right) \le 0.{\rm{ }}\)

Đặt: \(t = \frac{{{x^2} + {y^2}}}{x}(t > 0)\) , bất phương trình trở thành: \({\log _3}(1 + t) – {\log _2}\left( {1 + \frac{{24}}{t}} \right) \le 0\) (1).

Xét hàm số \(f(t) = {\log _3}(1 + t) – {\log _2}\left( {1 + \frac{{24}}{t}} \right)\) có \(f'(t) = \frac{1}{{(1 + t)\ln 3}} + \frac{{24}}{{\left( {{t^2} + 24t} \right)\ln 2}} > 0,\forall t > 0\) .

Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng \((0; + \infty )\) .

Ta có \(f(8) = {\log _3}(1 + 8) – {\log _2}\left( {1 + \frac{{24}}{8}} \right) = 0\)

Từ đó suy ra: \((1) \Leftrightarrow f(t) \le f(8) \Leftrightarrow t \le 8 \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + {y^2}}}{x} \le 8 \Leftrightarrow {(x – 4)^2} + {y^2} \le 16\) .

Đếm các cặp giá trị nguyên của \((x;y)\)

Ta có: \({(x – 4)^2} \le 16 \Leftrightarrow 0 \le x \le 8\) , mà \(x > 0\) nên \(0 < x \le 8\) .

Với \(x = 1,x = 7 \Rightarrow y = \{  \pm 2; \pm 1;0\} \) nên có 10 cặp.

Với \(x = 2,x = 6 \Rightarrow y = \{  \pm 3; \pm 2; \pm 1;0\} \) nên có 14 cặp.

Với \(x = 3,x = 5 \Rightarrow y = \{  \pm 3; \pm 2; \pm 1;0\} \) nên có 14 cặp.

Với \(x = 4 \Rightarrow y = \{  \pm 4; \pm 3; \pm 2; \pm 1;0\} \) nên có 9 cặp.

Với \(x = 8 \Rightarrow y = 0\) có 1 cặp.

Vậy có 48 cặp giá trị nguyên \((x;y)\) thỏa mãn đề bài.