Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(f(x) + xf'(x) = 4{x^3} + 4x + 2,\forall x \in \mathbb{R}\) . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = f(x)\) và \(y = {f^\prime }(x)\) bằng

Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(f(x) + xf'(x) = 4{x^3} + 4x + 2,\forall x \in \mathbb{R}\) . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = f(x)\) và \(y = {f^\prime }(x)\) bằng

A. \(\frac{5}{2}\) .

 B. \(\frac{4}{3}\) .

 C. \(\frac{1}{2}\) .

 D. \(\frac{1}{4}\) .

Lời giải:

Chọn C

Ta có: \(f(x) + x.f'(x) = 4{x^3} + 4x + 2\)\( \Leftrightarrow (x)’ \cdot f(x) + x.f'(x) = 4{x^3} + 4x + 2\)

\( \Leftrightarrow [x.f(x)]’ = 4{x^3} + 4x + 2\)\( \Leftrightarrow x.f(x) = {x^4} + 2{x^2} + 2x + C\)\( \Leftrightarrow f(x) = \frac{{{x^4} + 2{x^2} + 2x + C}}{x}\)

Vì do \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên \(C = 0\) . Do đó \(f(x) = {x^3} + 2x + 2\)\( \Rightarrow f'(x) = 3{x^2} + 2\)

Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(y = f(x)\) và \(y = f'(x)\) , ta có:

\({x^3} + 2x + 2 = 3{x^2} + 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x = 2\end{array} \right.\) . Vậy diện tích phẳng giới hạn bởi các đường \(y = f(x)\) và \(y = f'(x)\) là: \(S = \int\limits_0^2 {\left| {f(x) – f'(x)} \right|{\rm{d}}x}  = \frac{1}{2}\)