Giải bài tập Bài 16: Tam giác cân. Đường trung trực của đoạn thẳng (C4 Toán 7 Kết nối)

Giải bài tập Bài 16: Tam giác cân. Đường trung trực của đoạn thẳng (C4 Toán 7 Kết nối)

————————-

Giải bài 4.23 trang 84 SGK Toán 7 KNTT tập 1

Cho tam giác ABC cân tại A và các điểm E, F lần lượt nằm trên các cạnh AC, AB sao cho BE vuông góc với AC, CF vuông góc với AB (H.4.69). Chứng minh rằng BE = CF.

Phương pháp giải

Chứng minh 2 tam giác bằng nhau để suy ra 2 cạnh tương ứng bằng nhau

Lời giải chi tiết

Do tam giác ABC cân tại A nên: (widehat {ABC} = widehat {ACB})(tính chất tam giác cân)

Xét 2 tam giác vuông BFC và CEB:

(widehat {ABC} = widehat {ACB})

BC chung

=>(Delta BFC = Delta CEB)(cạnh huyền – góc nhọn)

=>BE=CF (2 cạnh tương ứng).

Giải bài 4.24 trang 84 SGK Toán 7 KNTT tập 1

Cho tam giác ABC cân tại A và M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Chứng minh AM vuông góc với BC và AM là tia phân giác của góc BAC.

Phương pháp giải

Chứng minh 2 tam giác AMC và AMB bằng nhau từ đó suy ra các cặp góc tương ứng bằng nhau.

Lời giải chi tiết

Xét 2 tam giác AMC và AMB có:

AM chung

AB=AC (do tam giác ABC cân tại A)

MB=MC (gt)

(Rightarrow) (Delta )AMB=AMC(c.c.c)

(Rightarrow) (widehat {CAM} = widehat {CBM})(2 góc tương ứng)

(Rightarrow) AM là phân giác của góc BAC

Mặt khác: (widehat {AMB} = widehat {AMC})(2 góc tương ứng) mà (widehat {AMB} + widehat {AMC} = {180^o})( 2 góc kề bù)

Nên: (widehat {AMB} = widehat {AMC} = {90^o}).

Vậy AM vuông góc với BC.

Giải bài 4.25 trang 84 SGK Toán 7 KNTT tập 1

Cho tam giác ABC và M là trung điểm của đoạn thẳng BC.

a) Giả sử AM vuông góc với BC. Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A.

b) Giả sử AM là tia phân giác của góc BAC. Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A.

Phương pháp giải

a) Chứng minh tam giác hai tam giác AMB và AMC bằng nhau (Rightarrow) Tam giác ABC cân.

b) Từ M kẻ hai đường vuông góc với AC và AB từ đó chứng minh hai góc B và C bằng nhau.

(Rightarrow) Chứng minh hai tam giác AMB và AMC bằng nhau

(Rightarrow)  Tam giác ABC cân

Lời giải chi tiết

a)

Xét 2 tam giác vuông AMC và AMB có:

AM chung

BM=CM (gt)

=>(Delta AMB = Delta AMC) (c.g.c)

=> AM=BM (2 cạnh tương ứng)

=> Tam giác ABM cân tại A

b)

Kẻ MH vuông góc với AB(H thuộc AB)

     MG vuông góc với AC (G thuộc AC)

Xét 2 tam giác vuông AHM và AGC có:

(widehat {HAM} = widehat {GAM})

AM chung

=>(Delta AHM = Delta AGC)(cạnh huyền – góc nhọn)

=>HM=GM (2 cạnh tương ứng)

Xét 2 tam giác vuông BHM và CGM có:

BM=CM(gt)

MH=MG(cmt)

=>(Delta BHM = Delta CGM)(cạnh huyền – cạnh góc vuông)

=>(widehat {BMH} = widehat {CMH})(2 góc tương ứng)

=>Tam giác ABC cân tại A.

Giải bài 4.26 trang 84 SGK Toán 7 KNTT tập 1

Tam giác vuông có hai cạnh bằng nhau được gọi là tam giác vuông cân.

Hãy giải thích các khẳng định sau:

a) Tam giác vuông cân thì cân tại đỉnh góc vuông;

b) Tam giác vuông cân có hai góc nhọn bằng 45°;

c) Tam giác vuông có một góc nhọn bằng 45° là tam giác vuông cân.

Phương pháp giải

Áp dụng tổng ba góc trong tam giác bằng 180 độ.

Lời giải chi tiết

a) Do tổng ba góc trong 1 tam giác bằng 180 độ nên tam giác không thể có 2 góc vuông

=>Tam giác vuông cân sẽ có 2 góc nhọn bằng nhau

=> Tam giác vuông cân thì cân tại đỉnh góc vuông.

b) Giả sử hai góc nhọn trong tam giác vuông là x, ta có:

(begin{array}{l}x + x + {90^o} = {180^o}\ Rightarrow 2x = {90^o}\ Rightarrow x = {45^o}end{array})

Vậy tam giác vuông cân có hai góc nhọn bằng 45°.

c) Gọi góc còn lại của tam giác vuông có 1 góc nhọn bằng 45° là x, ta có:

(x + {45^o} + {90^o} = {180^o} Rightarrow x = {45^o})

Vậy tam giác vuông có một góc nhọn bằng 45° là tam giác vuông cân.

Giải bài 4.27 trang 84 SGK Toán 7 KNTT tập 1

Trong Hình 4.70, đường thẳng nào là đường trung trực của đoạn thẳng AB?

Phương pháp giải

Đường thẳng vuông góc với một đoạn thẳng tại trung điểm của nó được gọi là đường trung trực của đoạn thẳng đó.

Lời giải chi tiết

Quan sát hình 4.70 ta thấy đường thẳng m vuông góc với đoạn thẳng AB tại trung điểm của AB nên m là đường trung trực của AB.

Giải bài 4.28 trang 84 SGK Toán 7 KNTT tập 1

Cho tam giác ABC cân tại A có đường cao AD. Chứng minh rằng đường thẳng AD là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Phương pháp giải

Chứng minh 2 tam giác bằng nhau suy ra 2 cạnh tương ứng bằng nhau, 2 góc tương ứng bằng nhau

Chú ý: Hai góc kề bù bằng nhau thì mỗi góc bằng 90 độ

Lời giải chi tiết

Xét 2 tam giác vuông ADC và ADB có:

AD chung

AC=AB

=>(Delta ADC = Delta ADB)(cạnh huyền – cạnh góc vuông)

=>CD=BD (2 cạnh tương ứng)

=> D là trung điểm của BC.

Mà AD vuông góc với BC

Vậy AD là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

==============