Giải bài tập Cuối chương 3 (Kết nối)

Giải bài tập Cuối chương 3 (Kết nối)
============

Giải bài 3.12 trang 44 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1

Cho tam giác ABC có \(\widehat B = {135^o}\). Khẳng định nào sau đây là đúng?

a)

A. \(S = \frac{1}{2}ca\)

B. \(S = \frac{{ – \sqrt 2 }}{4}ac\)

C. \(S = \frac{{\sqrt 2 }}{4}bc\)

D. \(S = \frac{{\sqrt 2 }}{4}ca\)

b)

A. \(R = \frac{a}{{\sin A}}\)

B. \(R = \frac{{\sqrt 2 }}{2}b\)

C. \(R = \frac{{\sqrt 2 }}{2}c\)

D. \(R = \frac{{\sqrt 2 }}{2}a\)

c)

A. \({a^2} = {b^2} + {c^2} + \sqrt 2 ab.\)

B. \(\frac{b}{{\sin A}} = \frac{a}{{\sin B}}\)

C. \(\sin B = \frac{{ – \sqrt 2 }}{2}\)

D. \({b^2} = {c^2} + {a^2} – 2ca\cos {135^o}.\)

 

Phương pháp giải

a) Diện tích tam giác ABC: \(S = \frac{1}{2}ac.\sin B\)

b) Định lí sin: \(R = \frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}\)

c)

Định lí sin: \(R = \frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}\)

Định lí cos: \({b^2} = {c^2} + {a^2} – 2ca.\cos B;\;\;{a^2} = {c^2} + {b^2} – 2bc.\cos A\)

Hướng dẫn giải

a)

Diện tích tam giác ABC: \(S = \frac{1}{2}ac.\sin B\)

Mà \(\widehat B = {135^o} \Rightarrow \sin B = \sin {135^o} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

\( \Rightarrow S = \frac{1}{2}ac.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{\sqrt 2 }}{4}.ac\)

Chọn D

b)

Theo định lí sin, ta có: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = R\)

A. \(R = \frac{a}{{\sin A}}\) đúng

B. \(R = \frac{{\sqrt 2 }}{2}b\)

Mà \(\sin B = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow R = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{b}{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}} = b\sqrt 2 \)

Vậy B sai.

C. \(R = \frac{{\sqrt 2 }}{2}c\) (Loại vì không có dữ kiện về góc C nên không thể tính R theo c.)

D. \(R = \frac{{\sqrt 2 }}{2}a\) (Loại vì không có dữ kiện về góc A nên không thể tính R theo a.)

Chọn A

c)

A. \({a^2} = {b^2} + {c^2} + \sqrt 2 ab.\) (Loại)

Vì: Theo định lí cos ta có: \({a^2} = {b^2} + {c^2} – 2bc.\cos A\)

Không đủ dữ kiện để suy ra \({a^2} = {b^2} + {c^2} + \sqrt 2 ab.\)

B. \(\frac{b}{{\sin A}} = \frac{a}{{\sin B}}\) (Loại)

Theo định lí sin, ta có: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} \nRightarrow \frac{b}{{\sin A}} = \frac{a}{{\sin B}}\)

C. \(\sin B = \frac{{ – \sqrt 2 }}{2}\)(sai vì theo câu a, \(\sin B = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\))

D. \({b^2} = {c^2} + {a^2} – 2ca\cos {135^o}.\)

Theo định lý cos ta có:

\({b^2} = {c^2} + {a^2} – 2ca.\cos B\) (*)

Mà \(\widehat B = {135^o} \Rightarrow \cos B = \cos {135^o}\).

Thay vào (*) ta được: \({b^2} = {c^2} + {a^2} – 2ca\;\cos {135^o}\)

=> D đúng.

Chọn D

Giải bài 3.13 trang 44 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1

Cho tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây là đúng?

a)

A. \(S = \frac{{abc}}{{4r}}\)

B. \(r = \frac{{2S}}{{a + b + c}}\)

C. \({a^2} = {b^2} + {c^2} + 2bc\;\cos A\)

D. \(S = r\,(a + b + c)\)

b)

A. \(\sin A = \sin \,(B + C)\)

B. \(\cos A = \cos \,(B + C)\)

C. \(\;\cos A > 0\)

D. \(\sin A\,\, \le 0\)

 

Phương pháp giải

a)

+) Định lí cos: \({a^2} = {b^2} + {c^2} – 2bc\;\cos A\)

+) Công thức tính diện tích: \(S = pr = \frac{{abc}}{{4R}}\)

b) Giá trị lượng giác của hai góc bù nhau:

\(\sin x = \sin \left( {{{180}^o} – x} \right)\); \( – \cos x = \cos \left( {{{180}^o} – x} \right)\)

Hướng dẫn giải

a)

A. \(S = \frac{{abc}}{{4r}}\)

Ta có: \(S = \frac{{abc}}{{4R}}\). Mà \(r < R\)nên suy ra \(S = \frac{{abc}}{{4R}} < \frac{{abc}}{{4r}}\)

Vậy A sai.

B. \(r = \frac{{2S}}{{a + b + c}}\)

Ta có: \(S = pr \Rightarrow r = \frac{S}{p}\)

Mà\(p = \frac{{a + b + c}}{2}\;\; \Rightarrow r = \frac{S}{p}\; = \frac{S}{{\frac{{a + b + c}}{2}}} = \frac{{2S}}{{a + b + c}}\;\)

Vậy B đúng

C. \({a^2} = {b^2} + {c^2} + 2bc\;\cos A\)

Sai vì theo định lí cos ta có: \({a^2} = {b^2} + {c^2} – 2bc\;\cos A\)

D. \(S = r\,(a + b + c)\)

Sai vì \(S = pr = r.\frac{{a + b + c}}{2}\)

Chọn đáp án B

b)

A. \(\sin A = \sin \,(B + C)\)

Ta có: \((\widehat A  + \widehat C) + \widehat B= {180^o}\)

\(\Rightarrow \sin \,(B + C) = \sin A\)

=> A đúng.

B. \(\cos A = \cos \,(B + C)\)

Sai vì \(\cos \,(B + C) =  – \cos A\)

C. \(\;\cos A > 0\) Không đủ dữ kiện để kết luận.

Nếu \({0^o} < \widehat A < {90^o}\) thì \(\cos A > 0\)

Nếu \({90^o} < \widehat A < {180^o}\) thì \(\cos A < 0\)

D. \(\sin A\,\, \le 0\)

Ta có \(S = \frac{1}{2}bc.\sin A > 0\). Mà \(b,c > 0\)

\( \Rightarrow \sin A > 0\)

=> D sai.

Chọn A

Giải bài 3.14 trang 44 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1

Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) \(M = \sin {45^o}.\cos {45^o} + \sin {30^o}\)

b) \(N = \sin {60^o}.\cos {30^o} + \frac{1}{2}.\sin {45^o}\)

c) \(P = 1 + {\tan ^2}{60^o}\)

d) \(Q = \frac{1}{{{{\sin }^2}{{120}^o}}} – {\cot ^2}{120^o}.\)

Phương pháp giải

Bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

Hướng dẫn giải

a) \(M = \sin {45^o}.\cos {45^o} + \sin {30^o}\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\sin {45^o} = \cos {45^o} = \frac{{\sqrt 2 }}{2};\;\\\sin {30^o} = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)

Thay vào M, ta được: \(M = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{1}{2} = \frac{2}{4} + \frac{1}{2} = 1\)

b) \(N = \sin {60^o}.\cos {30^o} + \frac{1}{2}.\sin {45^o}\)

Ta có: \(\sin {60^o} = \frac{{\sqrt 3 }}{2};\;\;\cos {30^o} = \frac{{\sqrt 3 }}{2};\;\sin {45^o} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\;\)

Thay vào N, ta được: \(N = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{3}{4} + \frac{{\sqrt 2 }}{4} = \frac{{3 + \sqrt 2 }}{4}\)

c) \(P = 1 + {\tan ^2}{60^o}\)

Ta có: \(\tan {60^o} = \sqrt 3 \)

Thay vào P, ta được: \(Q = 1 + {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} = 4.\)

d) \(Q = \frac{1}{{{{\sin }^2}{{120}^o}}} – {\cot ^2}{120^o}.\)

Ta có: \(\sin {120^o} = \frac{{\sqrt 3 }}{2};\;\;\cot {120^o} = \frac{{ – 1}}{{\sqrt 3 }}\)

Thay vào P, ta được: \(Q = \frac{1}{{{{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}} – \;{\left( {\frac{{ – 1}}{{\sqrt 3 }}} \right)^2} = \frac{1}{{\frac{3}{4}}} – \;\frac{1}{3} = \;\frac{4}{3} – \;\frac{1}{3} = 1.\)

Giải bài 3.15 trang 44 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1

Cho tam giác ABC có \(\widehat B = {60^o},\;\,\widehat C = {45^o},AC = 10\). Tính \(a,R,S,r\).

 

Phương pháp giải

Định lí sin: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = R\)

Hướng dẫn giải

Theo định lí sin: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = R\)

+) Ta có: \(R = \frac{b}{{\sin B}}\)

Mà \(b = AC = 10,\;\;\widehat B = {60^o}\)

\( \Rightarrow R = \frac{{10}}{{\sin {{60}^o}}} = \frac{{10}}{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{20}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{20\sqrt 3 }}{3}.\)

+) Mặt khác: \(R = \frac{a}{{\sin A}} \Rightarrow a = R.\sin A\)

Mà \(R = \frac{{20\sqrt 3 }}{3},\;\widehat A = {180^o} – \left( {\widehat B + \;\widehat C} \right) = {180^o} – \left( {{{60}^o} + {{45}^o}} \right) = {75^o}\)

\( \Rightarrow a = \frac{{20\sqrt 3 }}{3}.\sin {75^o} \approx 11,154\)

+) Diện tích tam giác ABC là: \(S = \frac{1}{2}ab.\sin \,\widehat C\) \( \approx \frac{1}{2}.11,154.10.\sin {60^o}\)\( \approx 48,3\)

+) Lại có: \(R = \frac{c}{{\sin C}}\)

\( \Rightarrow c = \frac{{20\sqrt 3 }}{3}.\sin {45^o} = \frac{{10\sqrt 6 }}{3} \approx 8,165\)

\( \Rightarrow p = \frac{{a + b + c}}{2} \approx \frac{{11,154 + 10 + 8,165}}{2} \approx 14,66\)

\( \Rightarrow r = \frac{S}{p} \approx \frac{{48,3}}{{14,66}} \approx 3,3\)

Giải bài 3.16 trang 44 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1

Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Chứng minh rằng:

a) \(\cos \widehat {AMB} + \cos \widehat {AMC} = 0\)

b) \(M{A^2} + M{B^2} – A{B^2} = 2.MA.MB.\cos \widehat {AMB}\) và \(M{A^2} + M{C^2} – A{C^2} = 2.MA.MC.\cos \widehat {AMC}\)

c) \(M{A^2} = \frac{{2\left( {A{B^2} + A{C^2}} \right) – B{C^2}}}{4}\) (công thức đường trung tuyến).

Phương pháp giải

a) Giá trị lượng giác của hai góc bù nhau:

\( – \cos x = \cos \left( {{{180}^o} – x} \right)\)

b) Định lí cos: \({a^2} = {b^2} + {c^2} – 2bc\;\cos A\)cho tam giác tương ứng.

c) Suy ra từ b, lưu ý rằng: \(\left\{ \begin{array}{l}\cos \widehat {AMC} + \cos \widehat {AMB} = 0\\MB = MC = \frac{{BC}}{2}\end{array} \right.\)

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(\widehat {AMB} + \widehat {AMC} = {180^o}\)

\( \Rightarrow \cos \widehat {AMB} =  – \cos \widehat {AMC}\)

Hay \(\cos \widehat {AMB} + \cos \widehat {AMC} = 0\)

b) Áp dụng định lí cos trong tam giác AMB ta có:

\(\begin{array}{l}A{B^2} = M{A^2} + M{B^2} – 2MA.MB\;\cos \widehat {AMB}\\ \Leftrightarrow M{A^2} + M{B^2} – A{B^2} = 2MA.MB\;\cos \widehat {AMB}\;\;(1)\end{array}\)

Tương tự, Áp dụng định lí cos trong tam giác AMB ta được:

\(\begin{array}{l}A{C^2} = M{A^2} + M{C^2} – 2MA.MC\;\cos \widehat {AMC}\\ \Leftrightarrow M{A^2} + M{C^2} – A{C^2} = 2MA.MC\;\cos \widehat {AMC}\;\;(2)\end{array}\)

c) Từ (1), suy ra \(M{A^2} = A{B^2} – M{B^2} + 2MA.MB\;\cos \widehat {AMB}\;\)

Từ (2), suy ra \(M{A^2} = A{C^2} – M{C^2} + 2MA.MC\;\cos \widehat {AMC}\;\)

Cộng vế với vế ta được:

\(2M{A^2} = \left( {A{B^2} – M{B^2} + 2MA.MB\;\cos \widehat {AMB}} \right)\; + \left( {A{C^2} – M{C^2} + 2MA.MC\;\cos \widehat {AMC}} \right)\;\)

\( \Leftrightarrow 2M{A^2} = A{B^2} + A{C^2} – M{B^2} – M{C^2} + 2MA.MB\;\cos \widehat {AMB} + 2MA.MC\;\cos \widehat {AMC}\)

Mà: \(MB = MC = \frac{{BC}}{2}\) (do AM là trung tuyến)

\( \Rightarrow 2M{A^2} = A{B^2} + A{C^2} – {\left( {\frac{{BC}}{2}} \right)^2} – {\left( {\frac{{BC}}{2}} \right)^2} + 2MA.MB\;\cos \widehat {AMB} + 2MA.MB\;\cos \widehat {AMC}\)

\( \Leftrightarrow 2M{A^2} = A{B^2} + A{C^2} – 2.{\left( {\frac{{BC}}{2}} \right)^2} + 2MA.MB\;\left( {\cos \widehat {AMB} + \;\cos \widehat {AMC}} \right)\)

\( \Leftrightarrow 2M{A^2} = A{B^2} + A{C^2} – {\frac{{BC}}{2}^2}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow M{A^2} = \frac{{A{B^2} + A{C^2} – {{\frac{{BC}}{2}}^2}}}{2}\\ \Leftrightarrow M{A^2} = \frac{{2\left( {A{B^2} + A{C^2}} \right) – B{C^2}}}{4}\end{array}\) (đpcm)

Giải bài 3.17 trang 44 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1

Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:

a) Nếu góc A nhọn thì \({b^2} + {c^2} > {a^2}\)

b) Nếu góc A tù thì \({b^2} + {c^2} < {a^2}\)

c) Nếu góc A vuông thì \({b^2} + {c^2} = {a^2}\)

Phương pháp giải

a) Nếu góc A nhọn thì \(\cos A > 0\)

b) Nếu góc A tù thì \(\cos A < 0\)

c) Nếu góc A vuông thì \(\cos A = 0\)

Định lí cos: \({a^2} = {b^2} + {c^2} – 2bc\;\cos A\)

Hướng dẫn giải

Theo định lí cos ta có: \({a^2} = {b^2} + {c^2} – 2bc\;\cos A\)

\( \Rightarrow {b^2} + {c^2} – {a^2} = 2bc\;\cos A\)(1)

a) Nếu góc A nhọn thì \(\cos A > 0\)

Từ (1), suy ra \({b^2} + {c^2} > {a^2}\)

b) Nếu góc A tù thì \(\cos A < 0\)

Từ (1), suy ra \({b^2} + {c^2} < {a^2}\)

c) Nếu góc A vuông thì \(\cos A = 0\)

Từ (1), suy ra \({b^2} + {c^2} = {a^2}\)

Giải bài 3.18 trang 45 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1

Trên biển, tàu B ở vị trí cách tàu A 53km về hướng \(N{34^o}E\). Sau đó, tàu B chuyển động thẳng đều với vận tốc có độ lớn 30 km/h về hướng đông và tàu A chuyển động thẳng đều với vận tốc có độ lớn 50 km/h để đuổi kịp tàu B.

a) Hỏi tàu A cần phải chuyển động theo hướng nào?

b) Với hướng chuyển động đó thì sau bao lâu tàu A đuổi kịp tàu B?

Phương pháp giải

a) Tìm hướng chuyển động của A, tức là tính góc \(\alpha  + {34^o}\)

Bước 1: Tính quãng đường BC, AC

Bước 2: Định lí sin: \(\frac{a}{{\sin \alpha }} = \frac{b}{{\sin B}}\)

=>  \(\sin \alpha \), từ đó suy ra hướng của tàu A.

b) Bước 1: Tính góc C

Bước 2: Áp dụng định lí sin  \(\frac{a}{{\sin \alpha }} = \frac{c}{{\sin C}}\) để suy ra t (thời gian đi cho đến khi gặp nhau)

Hướng dẫn giải

a)

Gọi t (đơn vị: giờ) là thời gian đi cho đến khi hai tàu gặp nhau tại C.

Tàu B đi với vận tốc có độ lớn 30km/h nên quãng đường BC = 30t

Tàu A đi với vận tốc có độ lớn 50km/h nên quãng đường AC = 50t

Theo định lí sin, ta có: \(\frac{a}{{\sin \alpha }} = \frac{b}{{\sin B}}\)

Trong đó: \(\left\{ \begin{array}{l}a = BC = 30t\\b = AC = 50t\\\widehat B = {124^o}\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{30t}}{{\sin \alpha }} = \frac{{50t}}{{\sin {{124}^o}}}\\ \Leftrightarrow \sin \alpha  = \frac{{30t.\sin {{124}^o}}}{{50t}} = \frac{{30.\sin {{124}^o}}}{{50}} \approx 0,4974\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \alpha  \approx {30^o}\) hoặc \(\alpha  \approx {150^o}\)(loại)

Vậy tàu A chuyển động theo hướng tạo với vị trí ban đầu của tàu B góc \({30^o}\).

b) Xét tam giác ABC, ta có:

\(\begin{array}{l}\widehat B = {124^o};\widehat A = {30^o}\\ \Rightarrow \widehat C = {180^o} – \left( {\widehat B + \widehat A} \right) = {180^o} – \left( {{{124}^o} + {{30}^o}} \right) = {26^o}\end{array}\)

Theo định lí sin, ta có

\(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{c}{{\sin C}} \Rightarrow a = \frac{{c.\sin A}}{{\sin C}}\)

Mà \(\left\{ \begin{array}{l}a = BC = 30t\\c = AB = 53\\\widehat A = {30^o};\widehat C = {26^o}\end{array} \right. \Rightarrow 30t = \frac{{53.\sin {{30}^o}}}{{\sin {{26}^o}}}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 30t \approx 60,45\\ \Leftrightarrow t \approx 2\;(h)\end{array}\)

Vậy sau khoảng 2 giờ thì tàu A đuổi kịp tàu B.

Giải bài 3.19 trang 45 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1

Trên sân bóng chày dành cho nam, các vị trí gôn Nhà (Home plate), gôn 1 (First base), gôn 2 (Second base), gôn 3 (Third base) là bốn đỉnh của một hình vuông có cạnh dài 27,4 m. Vị trí đứng ném bóng (Pitcher’s mound) nằm trên đường nối gôn Nhà với gôn 2, và cách gôn Nhà 18,44 m. Tính các khoảng cách từ vị trí đứng ném bóng tới các gôn 1 và gôn 3.

 

Phương pháp giải

Kí hiệu gôn Nhà, gôn 1, gôn 2, gôn 3 và vị trí ném bóng lần lượt là các điểm A, B, C, D, O như hình vẽ.

Vậy ta cần tính các đoạn thẳng OB và OD

Bước 1: Tính đường chéo AC, từ đó suy ra độ dài OC.

Bước 2: Vận dụng định lí cos trong tam giác OCD để suy ra  OD.

Hướng dẫn giải

Kí hiệu gôn Nhà, gôn 1, gôn 2, gôn 3 và vị trí ném bóng lần lượt là các điểm A, B, C, D, O như hình vẽ.

Ta có: \(CD = 27,4 \Rightarrow AC = CD.\sqrt 2  = 27,4.\sqrt 2  \approx 38,75\)

\( \Rightarrow OC = AC – OA \approx 38,75 – 18,44 = 20,31\)

Xét tam giác OCD ta có:

Định lí cos: \(O{D^2} = C{D^2} + C{O^2} – 2.CD.CO.\cos C\)

Trong đó \(\left\{ \begin{array}{l}CD = 27,4\\CO = 20,31\\\widehat C = {45^o}\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow O{D^2} = 27,{4^2} + 20,{31^2} – 2.27,4.20,31.\cos {45^o}\\ \Leftrightarrow O{D^2} \approx 376,255\\ \Leftrightarrow OD \approx 19,4\;(m)\end{array}\)

Dễ thấy  \(\Delta \,COB = \Delta \,COD\)(c.g.c) \( \Rightarrow OB = OD = 19,4\;(m)\)