Lý thuyết Bài 2: Giải bất phương trình bậc hai một ẩn – Chân trời

Lý thuyết Bài 2: Giải bất phương trình bậc hai một ẩn – Chân trời
============

Ví dụ:  Các bất phương trình nào sau đây là bắt phương trình bậc hai một ẩn? Nếu là bất phương trình bậc hai một ẩn. x = 1 và x= 2 có lả nghiệm của bắt phương trình đó hay không?

\(\begin{array}{l}
a){x^2} + x – 3 \ge 0;\\
b)3{x^3} + {x^2} – 1 \le 0.
\end{array}\)

Giải

3) \({x^2} + x – 3 \ge 0\) là một bât phương trình bậc hai một ân.

Vì \({1^2} + 1 – 3 =  – 1 < 0\) nên x = 1 không là nghiệm của bất phương trình trên.

Vì \({2^2} + 2 – 3 = 3 > 0\) nên x = 2 là một nghiệm của bất phương trình trên.

b) \(3{x^3} + {x^2} – 1 \le 0\) không phải là một bât phương trình bậc hai một ẩn.

Ta có thể giải bắt phương trình bậc hai bằng cách xét dâu của tam thức bậc hai tương ứng.

Ví dụ:  Giải bất phương trình bậc hai \(6{x^2} + 7x – 5 > 0\)

Giải

Tam thức bậc hai \(f(x) = 6{x^2} + 7x – 5\) có hai nghiệm phân biệt là \({x_1} =  – \frac{5}{3}\) và \({x_2} = \frac{1}{2}\). 

a = 6 > 0 nên f(x) đương với mọi x thuộc hai khoảng \(\left( { – \infty ; – \frac{5}{3}} \right),\left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\)

Vậy bất phương trình \(6{x^2} + 7x – 5 > 0\) có tập nghiệm là \(\left( { – \infty ; – \frac{5}{3}} \right) \cup \left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\)

Lưu ý: Có thể sử dụng đồ thị hàm số \(f(x) = 6{x^2} + 7x – 5\) (Hình trên) để giải bất phương trình ƒ(x) > 0.

Câu 1:  Các bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc hai một ẩn? Nếu là bất phương trình bậc hai một ẩn, \(x = 2\) có là nghiệm của bất phương trình đó hay không?

a) \({x^2} + x – 6 \le 0\)

b) \(x + 2 > 0\)

c) \( – 6{x^2} – 7x + 5 > 0\)

Hướng dẫn giải

a) \({x^2} + x – 6 \le 0\) là một bất phương trình bậc hai một ẩn

Vì \({2^2} + 2 – 6 = 0\) nên \(x = 2\) là nghiệm của bất phương trình trên

b) \(x + 2 > 0\) không là bất phương trình bậc hai một ẩn

c) \( – 6{x^2} – 7x + 5 > 0\) là một bất phương trình bậc hai một ẩn

Vì \( – {6.2^2} – 7.2 + 5 =  – 33 < 0\) nên \(x = 2\) không là nghiệm của bất phương trình trên

Câu 2:  Giải các bất phương trình bậc hai sau:

a) \(15{x^2} + 7x – 2 \le 0\)

b) \( – 2{x^2} + x – 3 < 0\)

Hướng dẫn giải

a) Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = 15{x^2} + 7x – 2\) có hai nghiệm phân biệt là \({x_1} =  – \frac{2}{3};{x_2} = \frac{1}{5}\)

và có \(a = 15 > 0\) nên \(f\left( x \right) \le 0\) khi x thuộc đoạn \(\left[ { – \frac{2}{3};\frac{1}{5}} \right]\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình \(15{x^2} + 7x – 2 \le 0\) là \(\left[ { – \frac{2}{3};\frac{1}{5}} \right]\)

b) Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) =  – 2{x^2} + x – 3\) có \(\Delta  =  – 23 < 0\) và \(a =  – 2 < 0\)

nên \(f\left( x \right)\) âm với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Vậy bất phương trình \( – 2{x^2} + x – 3 < 0\) có tập nghiệm là \(\mathbb{R}\)

===========
Chuyên mục: Chương 7: Bất phương trình bậc hai một ẩn