(THPT Lương Tài 2 – Bắc Ninh – 2022) Cho hàm số\(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + a}&{khi}&{x \ge 1}\\{3{x^2} + b}&{khi}&{x < 1}\end{array}} \right.\) thoả mãn \(\int\limits_0^2 {f(x)} \,dx = 13\). Tính \(T = a + b – ab\)?

A. \(T = – 11\).

B. \(T = – 5\).

C. \(T = 1\).

D. \(T = – 1\).

Lời giải:

Chọn A

Nhận thấy hàm số phải liên tục tại \(x = 1\). Khi đó:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} f(x) = f(1) \Leftrightarrow 2 + a = 3 + b \Leftrightarrow a – b = 1\).

Ta có:

\(13 = \int\limits_0^2 {f(x)} \,dx = \int\limits_0^1 {f(x)} \,dx + \int\limits_1^2 {f(x)} \,dx = \int\limits_0^1 {\left( {3{x^2} + b} \right)} \,dx + \int\limits_1^2 {\left( {2x + a} \right)} \,dx = \left. {\left( {{x^3} + bx} \right)} \right|_0^1 + \left. {\left( {{x^2} + ax} \right)} \right|_1^2\)

\( = \left( {b + 1} \right) + \left( {a + 3} \right) = a + b + 4 \Rightarrow a + b = 9\).

Như vậy \(\left\{ \begin{array}{l}a – b = 1\\a + b = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 5\\b = 4\end{array} \right.\) suy ra \(T = a + b – ab = 5 + 4 – 5.4 = – 11\).