(THPT Kinh Môn – Hải Dương – 2022) Cho \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\,\left( {a \ne 0} \right)\) là hàm số nhận giá trị không âm trên đoạn \(\left[ {2;\,3} \right]\) có đồ thị \(y = f’\left( x \right)\) như hình vẽ

Biết diện tích hình giới hạn bởi các đồ thị của các hàm \(g\left( x \right) = x{f^2}\left( x \right)\,;\,\,\,h\left( x \right) = – {x^2}f\left( x \right)f’\left( x \right)\) và các đường \(x = 2;x = 3\) bằng 72. Tính \(f\left( 1 \right)\) ?

A. \(f\left( 1 \right) = 2\)

B. \(f\left( 1 \right) = – 1\)

C. \(f\left( 1 \right) = 1\)

D. \(f\left( 1 \right) = – \frac{{62}}{5}\)

Lời giải:

Chọn A

+) Ta có \(f’\left( x \right) = 3a{x^2} + 2bx + c\,\left( {a \ne 0} \right)\)

+) Từ đồ thị có \(\left\{ \begin{array}{l}f’\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow c\, = 0\\f’\left( 2 \right) = 0 \Rightarrow 12a + 4b = 0\,\\f’\left( 1 \right) = – 3 \Rightarrow 3a + 2b + c = – 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 0\\a = 1\\b = – 3\end{array} \right.\). Suy ra \(f\left( x \right) = {x^3} – 3{x^2} +

D.\)

+) Diện tích

\(\int\limits_2^3 {g\left( x \right) – h\left( x \right)dx = \int\limits_2^3 {x{f^2}\left( x \right) + {x^2}f\left( x \right)f’\left( x \right)} } dx = \int\limits_2^3 {xf\left( x \right)\left[ {f\left( x \right) + xf’\left( x \right)} \right]dx} \)

\( = \int\limits_2^3 {xf\left( x \right)d\left[ {xf\left( x \right)} \right]} = \frac{1}{2}{\left[ {xf\left( x \right)} \right]^2}|_2^3 = 72\)

\( \Rightarrow \frac{1}{2}.\left[ {9{f^2}\left( 3 \right) – 4.{f^2}\left( 2 \right)} \right] = \frac{1}{2}\left[ {9{{\left( {27 – 3.9 + d} \right)}^2} – 4{{\left( {8 – 3.4 + d} \right)}^2}} \right] = 72\)

\( \Leftrightarrow 5{d^2} + 32d – 208 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}d = 4\\d = – \frac{{52}}{5}\end{array} \right.\)

Vì \(f\left( x \right)\) là hàm số nhận giá trị không âm trên đoạn \(\left[ {2;3} \right]\) nên \(f\left( x \right) = {x^3} – 3{x^2} + 4\)

Vậy \(f\left( 1 \right) = 2\)