(THPT Kim Liên – Hà Nội – 2022) Gọi \(S\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol \(y = {x^2} + 2x – 1\) và các đường thẳng \(y = m\), \(x = 0\), \(x = 1\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ { – 4040; – 3} \right]\) để \(S \le 2021\)?

A. \(2019\).

B. \(2020\).

C. \(2021\).

D. \(2018\).

Lời giải:

Chọn D

Ta có: \(y = {x^2} + 2x – 1 = {\left( {x + 1} \right)^2} – 2 \ge – 2\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).

mà \(m \in \left[ { – 4040; – 3} \right]\) nên \(m < {x^2} + 2x – 1\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).

Suy ra \(S = \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} + 2x – 1 – m} \right){\rm{d}}x} = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} + {x^2} – x – mx} \right)} \right|_0^1 = \frac{1}{3} – m\).

Khi đó: \(S \le 2021 \Leftrightarrow \frac{1}{3} – m \le 2021 \Leftrightarrow m \ge – \frac{{6062}}{3}\).

Vì \(m \in \left[ { – 4040; – 3} \right]\), \(m \in \mathbb{Z}\) nên có 2018 số nguyên \(m\).