(Chuyên Lam Sơn 2022) Cho hàm số \(f(x)\) với đồ thị là Parabol đỉnh \(I\) có tung độ bằng \( – \frac{7}{{12}}\) và hàm số bậc ba \(g(x)\). Đồ thị hai hàm số đó cắt nhau tại ba điểm phân biệt có hoành độ \({x_1},{x_2},{x_3}\) thoả mãn \(18{x_1}{x_2}{x_3} = – 55\) (hình vẽ).

Diện tích miền tô đậm gần số nào nhất trong các số sau đây?

A. 5,7.

B. 5,9.

C. 6,1.

D. 6,3.

Lời giải:

Dễ thấy \(I\left( {\frac{1}{2}, – \frac{7}{{12}}} \right)\) và \(f(x) = \frac{7}{{27}}(x + 1)(x – 2)\).

Hàm số \(g(x)\) đạt cực trị tại \(x = – 1,x = 2\) nên

\(g\prime (x) = a(x + 1)(x – 2) \Rightarrow g(x) = a\left( {\frac{{{x^3}}}{3} – \frac{{{x^2}}}{2} – 2x} \right) + b\)

Đồ thị hàm số \(g(x)\) đi qua \(I\) nên \(g\left( {\frac{1}{2}} \right) = – \frac{7}{{12}} \Leftrightarrow – \frac{7}{{12}} = – \frac{{13}}{{12}}a + b\), (1).

Phương trình hoành độ giao điểm: \(f(x) = g(x) \Leftrightarrow a\left( {\frac{{{x^3}}}{3} – \frac{{{x^2}}}{2} – 2x} \right) + b = \frac{7}{{27}}(x + 1)(x – 2)\)

Theo định lý viet ta có: \(18{x_1}{x_2}{x_3} = – 55 \Leftrightarrow 18 \cdot \frac{{b + \frac{{14}}{{27}}}}{{\frac{a}{3}}} = – 55 \Rightarrow 18b + \frac{{28}}{3} = – \frac{{55a}}{3}\), (2)

Từ (1), (2) ta được \(a = 1,b = \frac{1}{2} \Rightarrow g(x) = \frac{{{x^3}}}{3} – \frac{{{x^2}}}{2} – 2x + \frac{1}{2}\). Từ đó suy ra diện tich miền tô đậm sấp sỉ 5,7.