(Sở Vĩnh Phúc 2022) Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\), thoả mãn \(f\left( x \right) > – 1\) và\(f’\left( x \right)\sqrt {{x^2} + 1} = 2x\sqrt {f\left( x \right) + 1} ,\,\forall x \in \mathbb{R}\). Biết rằng \(f\left( 0 \right) = 0\), khi đó \(f\left( 2 \right)\)có giá trị bằng

A. 0.

B. 4.

C. 8.

D. 6.

Lời giải:

Chọn B

Ta có \(f’\left( x \right)\sqrt {{x^2} + 1} = 2x\sqrt {f\left( x \right) + 1} \Leftrightarrow \frac{{f’\left( x \right)}}{{\sqrt {f\left( x \right) + 1} }} = \frac{{2x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\)

Nên \(\int {\frac{{f’\left( x \right)}}{{\sqrt {f\left( x \right) + 1} }}{\rm{d}}x} = \int {\frac{{2x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{\rm{d}}x} \)\( \Leftrightarrow \int {\frac{{{\rm{d}}\left( {f\left( x \right)} \right)}}{{\sqrt {f\left( x \right) + 1} }}} = \int {\frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{\rm{d}}\left( {{x^2} + 1} \right)} \)

\( \Leftrightarrow 2\sqrt {f\left( x \right) + 1} = 2\sqrt {{x^2} + 1} + C\).

Mà \(f\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = 0\)\( \Rightarrow \sqrt {f\left( x \right) + 1} = \sqrt {{x^2} + 1} \) nên \(f\left( x \right) = {x^2} \Rightarrow f\left( 2 \right) = 4\).