(Sở Phú Thọ 2022) Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(R\backslash \left\{ { – 2;0} \right\}\) thỏa mãn \(x\left( {x + 2} \right).f’\left( x \right) + 2f\left( x \right) = {x^2} + 2x\) và \(f\left( 1 \right) = – 6\ln 3\). Biết \(f\left( 3 \right) = a + b\ln 5\,\left( {a,b \in \mathbb{Q}} \right)\). Giá trị \(a – b\) bằng?

A. \(20\).

B. \(10\).

C. \(\frac{{10}}{3}\).

D. \(\frac{{20}}{3}\).

Lời giải:

Chọn D

Xét \(x\left( {x + 2} \right).f’\left( x \right) + 2f\left( x \right) = {x^2} + 2x\) chia hai vế cho \({\left( {x + 2} \right)^2}\) ta được:

\(\frac{{xf’\left( x \right)}}{{x + 2}} + \frac{{2f\left( x \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{x}{{x + 2}} \Leftrightarrow {\left[ {\frac{x}{{x + 2}}f\left( x \right)} \right]^\prime } = \frac{x}{{x + 2}}\).

Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

\(\frac{x}{{x + 2}}f\left( x \right) = \int {\frac{x}{{x + 2}}dx \Leftrightarrow } \frac{x}{{x + 2}}f\left( x \right) = x – 2\ln \left| {x + 2} \right| + C\).

Mà \(f\left( 1 \right) = – 6\ln 3\) nên ta có: \(\frac{{ – 6\ln 3}}{3} = 1 – 2\ln 3 + C \Leftrightarrow C = – 1\).

Khi đó \(\frac{x}{{x + 2}}f\left( x \right) = x – \ln \left| {x + 2} \right| – 1 \Rightarrow \frac{3}{5}f\left( 3 \right) = 2 – 2\ln 5 \Rightarrow f\left( 3 \right) = \frac{{10}}{3} – \frac{{10}}{3}\ln 5\).

Vậy \(a – b = \frac{{10}}{3} + \frac{{10}}{3} = \frac{{20}}{3}\).