(Sở Lạng Sơn 2022) Giả sử hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục, nhận giá trị dương trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) và thỏa mãn \(f\left( 1 \right) = e\), \(f\left( x \right) = f’\left( x \right).\sqrt {3x + 1} \), với mọi \(x > 0\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. \(3 < f\left( 5 \right) < 4\).

B. \(11 < f\left( 5 \right) < 12\).

C. \(10 < f\left( 5 \right) < 11\).

D. \(4 < f\left( 5 \right) < 5\).

Lời giải:

Chọn C

Do hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục, nhận giá trị dương trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) nên \(f\left( x \right) = f’\left( x \right).\sqrt {3x + 1} \)

\( \Leftrightarrow \frac{{f’\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} = \frac{1}{{\sqrt {3x + 1} }} \Leftrightarrow \int {\frac{{f’\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}dx} = \int {\frac{1}{{\sqrt {3x + 1} }}dx \Leftrightarrow \ln f\left( x \right)} = \frac{2}{3}\sqrt {3x + 1} + C\left( * \right)\)

Ta có: \(f\left( 1 \right) = e\) nên \(\left( * \right) \Leftrightarrow 1 = \frac{4}{3} + C \Leftrightarrow C = – \frac{1}{3}\left( {**} \right)\)

Từ \(\left( * \right)\) và \(\left( {**} \right)\) suy ra \(f\left( x \right) = {e^{\frac{2}{3}\sqrt {3x + 1} – \frac{1}{3}}} \Rightarrow f\left( 5 \right) = {e^{\frac{7}{3}}} \approx 10,31\).