(Sở Bạc Liêu 2022) Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{e^x} + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\,^{}}\,{\mathop{\rm khi}\nolimits} \,x \ge 0\\{x^2} – 2x + 2{\,^{}}{\mathop{\rm khi}\nolimits} \,x < 0\end{array} \right.\). Tích phân \(I = \int\limits_{\frac{1}{e}}^{{e^2}} {\frac{{f\left( {\ln x – 1} \right)}}{x}{\rm{d}}x} = \frac{a}{b} + ce\) biết \(a,b,c \in \mathbb{Z}\) và \(\frac{a}{b}\) tối giản. Tính \(a + b + c?\)

A. \(35\).

B. \(29\).

C. \(36\).

D. \(27\).

Lời giải:

Chọn C

Đặt \(t = \ln x – 1\)\( \Rightarrow {\rm{d}}t = \frac{1}{x}{\rm{d}}x\).

Đồi cận \(x = \frac{1}{e} \Rightarrow t = – 2\) và \(x = {e^2} \Rightarrow t = 1\).

Khi đó \(I = \int_{ – 2}^1 {f\left( t \right)} {\rm{d}}t\)\( = \int_{ – 2}^1 {f\left( x \right)} {\rm{d}}x\)\( = \int_{ – 2}^0 {f\left( x \right)} {\rm{d}}x + \int_0^1 {f\left( x \right)} {\rm{d}}x\)\( = \int_{ – 2}^0 {\left( {{x^2} – 2x + 2} \right)} {\rm{d}}x + \int_0^1 {\left( {{e^x} + 1} \right)} {\rm{d}}x\)

\( = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} – {x^2} + 2x} \right)} \right|_{ – 2}^0 + \left. {\left( {{e^x} + x} \right)} \right|_0^1\)\( = \frac{{32}}{3} + e\)\( = \frac{a}{b} + ce\).

Suy ra \(a = 32,b = 3,c = 1\).

Vậy \(a + b + c = 36\).