(Sở Bạc Liêu 2022) Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên đoạn \(\left[ { – 3;3} \right]\). Biết diện tích hình phẳng \({S_1}\), \({S_2}\) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = – x – 1\) lần lượt là \(M\), \(m\). Tính tích phân \(\int\limits_{ – 3}^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \).

A. \(6 + m – M\).

B. \(6 – m – M\).

C. \(M – m + 6\).

D. \(m – M – 6\).

Lời giải:

Chọn D

Ta có \({S_1} = \int\limits_{ – 3}^1 {\left( { – x – 1 – f\left( x \right)} \right){\rm{d}}x} = M \Rightarrow \int\limits_{ – 3}^1 {\left( { – x – 1} \right){\rm{d}}x} – \int\limits_{ – 3}^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = M \Leftrightarrow \int\limits_{ – 3}^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = – M\) và

\({S_2} = \int\limits_1^3 {\left( {f\left( x \right) – \left( { – x – 1} \right)} \right){\rm{d}}x} = m \Rightarrow \int\limits_1^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_1^3 {\left( {x + 1} \right){\rm{d}}x} = m \Leftrightarrow \int\limits_1^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = m – 6\).

Vậy \(\int\limits_{ – 3}^3 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{ – 3}^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} = – M + m – 6\).