(Sở Thanh Hóa 2022) Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) thoả män \(2f(x) + xf\prime (x) = 3x + 10,\forall x \in \mathbb{R}\) và \(f(1) = 6\). Biết

\(\int_{ – 1}^4 {\frac{{\ln (2 + \sqrt {f(x)} )}}{{{f^2}(x) – 6f(x) + 9}}} dx = a\ln 5 + b\ln 6 + \sqrt c \ln (2 + \sqrt 3 ),(a,b,c \in \mathbb{Q})\). Khi đó \(a + b + c\) thuộc khoàng nào dưới đây?

A. \((1;2)\).

B. \((2;3)\).

C. \((0;1)\).

D. \(( – 1;0)\).

Lời giải:

Ta có \(2f(x) + xf\prime (x) = 3x + 10 \Leftrightarrow f\prime (x) + \frac{2}{x}f(x) = 3 + \frac{{10}}{x} \Leftrightarrow {x^2}f\prime (x) + 2xf(x) = 3{x^2} + 10x\)

\( \Leftrightarrow \left( {{x^2}f(x)} \right)\prime = 3{x^2} + 10x \Rightarrow {x^2}f(x) = \int {\left( {3{x^2} + 10x} \right)} dx = {x^3} + 5{x^2} + C;f(1) = 6 \Rightarrow C = 0 \Rightarrow f(x) = x + 5.\)\(\)

Khi đó \(I = \int_{ – 1}^4 {\frac{{\ln (2 + \sqrt {f(x)} )}}{{{f^2}(x) – 6f(x) + 9}}} dx = \int_{ – 1}^4 {\frac{{\ln (2 + \sqrt {f(x)} )}}{{{{(f(x) – 3)}^2}}}} dx = \int_{ – 1}^4 {\frac{{\ln (2 + \sqrt {x + 5} )}}{{{{(x + 2)}^2}}}} dx\).

Trước tiên từng phần

\(\begin{array}{l}I = \int_{ – 1}^4 {\ln } (2 + \sqrt {x + 5} )d\left( { – \frac{1}{{x + 2}}} \right) = – \left. {\frac{1}{{x + 2}}\ln (2 + \sqrt {x + 5} )} \right|_{ – 1}^4 + \int_{ – 1}^4 {\frac{1}{{x + 2}}} \cdot \frac{{\frac{1}{{2\sqrt {x + 5} }}}}{{2 + \sqrt {x + 5} }}dx\\ = – \frac{1}{6}\ln 5 + \ln 4 + \int_{ – 1}^4 {\frac{1}{{x + 2}}} \cdot \frac{{\frac{1}{{2\sqrt {x + 5} }}}}{{2 + \sqrt {x + 5} }}dx = – \frac{1}{6}\ln 5 + \ln 4 + K.\end{array}\)\(\)

Tích phân \(K\) chúng ta đổi biến \(t = 2 + \sqrt {x + 5} \Rightarrow dt = \frac{1}{{2\sqrt {x + 5} }}dx;x + 5 = {(t – 2)^2} \Rightarrow x + 2 = {(t – 2)^2} – 3\).

Đổi cận \(x = – 1 \Rightarrow t = 4;x = 4 \Rightarrow t = 5 \Rightarrow K = \int_4^5 {\frac{1}{{t\left( {{{(t – 2)}^2} – 3} \right)}}} dt\).

Đồng nhất hệ số \(\frac{1}{{t\left( {{{(t – 2)}^2} – 3} \right)}} = \frac{a}{t} + b \cdot \frac{{2(t – 2)}}{{{{(t – 2)}^2} – 3}} + \frac{c}{{{{(t – 2)}^2} – 3}} \Rightarrow a = 1;b = – \frac{1}{2};c = 2\).

\(\begin{array}{l}K = \int_4^5 {\left[ {\frac{1}{t} – \frac{1}{2} \cdot \frac{{2(t – 2)}}{{{{(t – 2)}^2} – 3}} + \frac{2}{{{{(t – 2)}^2} – 3}}} \right]} dt = \left. {\left( {\ln |t| – \frac{1}{2}\ln \left| {{{(t – 2)}^2} – 3} \right| + \frac{2}{{2\sqrt 3 }}\ln \left| {\frac{{t – 2 – \sqrt 3 }}{{t – 2 + \sqrt 3 }}} \right|} \right)} \right|_4^5\mid \\ = \ln 5 – \ln 4 – \frac{1}{2}\ln 6 + \frac{1}{{\sqrt 3 }}\left( {\ln \frac{{3 – \sqrt 3 }}{{3 + \sqrt 3 }} – \ln \frac{{2 – \sqrt 3 }}{{2 + \sqrt 3 }}} \right) = \ln 5 – \ln 4 – \frac{1}{2}\ln 6 + \frac{1}{{\sqrt 3 }}\ln (2 + \sqrt 3 ){\rm{ }}\\{\rm{I}} = \left( { – \frac{1}{6}\ln 5 + \ln 4} \right) + \left( {\ln 5 – \ln 4 – \frac{1}{2}\ln 6 + \frac{1}{{\sqrt 3 }}\ln (2 + \sqrt 3 )} \right)\\ = \frac{5}{6}\ln 5 – \frac{1}{2}\ln 6 + \sqrt {\frac{1}{3}} \ln (2 + \sqrt 3 ) \Rightarrow a + b + c = \frac{5}{6} – \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}.\end{array}\)

\(\)