(Liên trường Hà Tĩnh – 2022) Cho hàm số \(f(x)\) xác định trên \(\mathbb{R}\backslash \{ – 1;2\} \) thỏa mãn \(f\prime (x) = \frac{1}{{{x^2} – x – 2}}\); \(f( – 3) – f(3) = 0\) và \(f(0) = \frac{1}{3}\). Giá trị của biểu thức \(f( – 4) + f(1) – f(4)\) bằng

A. \(\frac{1}{3} + \frac{1}{3}\ln 2\).

B. \(1 + \ln S0\).

C. \(\frac{1}{3} – \ln 2\).

D. \(1 + \frac{1}{3}\ln \frac{8}{5}\).

Lời giải:

\(f(x) = \int {\frac{{dx}}{{{x^2} + x – 2}}} = \frac{1}{3}\int {\left( {\frac{1}{{x – 2}} – \frac{1}{{x + 1}}} \right)} dx = \frac{1}{3}\ln \left| {\frac{{x – 2}}{{x + 1}}} \right| + C\)\(\)

\( \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{1}{3}\ln \left| {\frac{{x – 2}}{{x + 1}}} \right| + C = \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{3}\ln \frac{{x – 2}}{{x + 1}} + {C_1}\,khi\,x > 2\\\frac{1}{3}\ln \left( {\frac{{2 – x}}{{x + 1}}} \right) + {C_2}\,khi\, – 1 < x < 2\\\frac{1}{3}\ln \frac{{x – 2}}{{x + 1}} + {C_3}\,khi\,x < – 1\end{array} \right.\)

Khi đó: \(f( – 3) – f( – 4) = \frac{1}{3}\ln \frac{5}{4};f(4) – f(3) = \frac{1}{3}\ln \frac{8}{5}\)

\(f( – 3) – f( – 4) + f(4) – f(3) = \frac{1}{3}\ln 2 \Rightarrow f( – 4) – f(4) = – \frac{1}{3}\ln 2\)\(\)

Mặt khác \(f(1) – f(0) = \frac{1}{3}\ln \frac{1}{4} \Rightarrow f(1) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3}\ln \frac{1}{4}\)

Do đó \(f( – 4) + f(1) – f(4) = \frac{1}{3} – \ln 2\).