(Chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên – 2022) Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d,\,\,\left( {a,b,c,d \in \mathbb{R},\,\,a \ne 0} \right)\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Biết rằng đồ thị \(\left( C \right)\) tiếp xúc với đường thẳng \(y = 4\) tại điểm có hoành độ âm và đồ thị của hàm số \(y = f’\left( x \right)\) cho bởi hình vẽ dưới đây. Tính thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng \(H\) giới hạn bởi đồ thị \(\left( C \right)\) và trục hoành khi quay xung quanh trục \(Ox\).

A. \(\frac{{725}}{{35}}{\rm{\pi }}\).

B. \(\frac{{729}}{{35}}{\rm{\pi }}\).

C. \(6{\rm{\pi }}\).

D. \(\frac{1}{{35}}{\rm{\pi }}\).

Lời giải:

Chọn B

Phương trình \(f’\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm phân biệt là: \( – 1\,;1\)

\( \Rightarrow f’\left( x \right) = k\left( {x + 1} \right)\left( {x – 1} \right)\)

Mà \(f’\left( 0 \right) = – 3 \Leftrightarrow k.1.\left( { – 1} \right) = – 3 \Leftrightarrow k = 3\). Do đó: \(f’\left( x \right) = 3\left( {x + 1} \right)\left( {x – 1} \right) \Rightarrow f’\left( x \right) = 3{x^2} – 3\).

\( \Rightarrow f\left( x \right) = \int {f’\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\left( {3{x^2} – 3} \right){\rm{d}}x} = {x^3} – 3x + C\).

Đồ thị \(\left( C \right)\) của hàm số \(y = f\left( x \right)\) tiếp xúc với đường thẳng \(y = 4\) tại điểm có hoành độ âm, nghĩa là đường thẳng \(\left( d \right):y = 4\) là tiếp tuyến của đồ thị \(\left( C \right)\) tại điểm có hoành độ \({x_0}\) âm.

\( \Rightarrow f’\left( {{x_0}} \right) = {k_d} \Leftrightarrow 3x_0^2 – 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 1\\{x_0} = – 1\end{array} \right.\). Vì \({x_0}\) âm, nên \({x_0} = – 1\).

Ta có: \(f\left( {{x_0}} \right) = 4 \Leftrightarrow {\left( { – 1} \right)^3} – 3\left( { – 1} \right) + C = 4 \Leftrightarrow C = 2\).

Do đó: \(f\left( x \right) = {x^3} – 3x + 2\). Xét: \(f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^3} – 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = – 2\end{array} \right.\).

Hình phẳng \(\left( H \right)\) được giới hạn bởi: \(\left\{ \begin{array}{l}y = f\left( x \right);\,\,y = 0\\x = 1;\,\,x = – 2\end{array} \right.\).

Thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng \(H\) quanh trục \(Ox\) là: \(V = {\rm{\pi }}\int\limits_{ – 2}^1 {{f^2}\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{{729}}{{35}}{\rm{\pi }}\).