Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của hàm số \(\displaystyle  f\left( x \right) = \frac{{x\left( {2 + x} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)?

Ta có: \(\displaystyle  f\left( x \right) = \frac{{x\left( {2 + x} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)\(\displaystyle   = \frac{{{x^2} + 2x + 1 – 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\) \(\displaystyle   = 1 – \frac{1}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}\)

\(\displaystyle   \Rightarrow \int {f\left( x \right)dx}  = \int {\left( {1 – \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}} \right)dx} \) \(\displaystyle   = x + \frac{1}{{x + 1}} + C\)

Đáp án A: \(\displaystyle  \frac{{{x^2} + x – 1}}{{x + 1}} = x – \frac{1}{{x + 1}}\) nên không là nguyên hàm của \(\displaystyle  f\left( x \right)\).

Đáp án B: \(\displaystyle  \frac{{{x^2} – x – 1}}{{x + 1}} = x + \frac{1}{{x + 1}} – 2\) nên là một nguyên hàm của \(\displaystyle  f\left( x \right)\).

Đáp án C: \(\displaystyle  \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}} = x + \frac{1}{{x + 1}}\) nên là một nguyên hàm của \(\displaystyle  f\left( x \right)\).

Đáp án D: \(\displaystyle  \frac{{{x^2}}}{{x + 1}} = x + \frac{1}{{x + 1}} – 1\) nên là một nguyên hàm của \(\displaystyle  f\left( x \right)\).