Cho tứ diện ABCD có \(AB = a; AC = BC = AD = BD = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\). Gọi M, Nlà trung điểm của AB, CD. Góc giữa hai mặt phẳng (ABD) ; (ABC) là \(\alpha\) . Tính \(cos \alpha\) biết mặt cầu đường kính MN tiếp xúc với cạnh AD

Xét các tam giác ACB, ADB lần lượt cân tại C và D nên CM⊥AB,DM⊥AB

Ta có :  

\(\left\{ \begin{array}{l}
(ABC) \cap (ABD) = AB\\
CM \bot AB,CM \subset (ABC)\\
DM \bot AB,DM \subset (ABD)
\end{array} \right. \Rightarrow \angle ((ABC);(ABD)) = \angle (CM;DM) \Rightarrow \angle ((ABC);(ABD)) = \angle (CM;DM)\)

Tam giác ACM vuông tại M nên theo Pitago ta có :

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{C{M^2} = A{C^2} – A{M^2}}\\
{ \Rightarrow CM = \sqrt {A{C^2} – A{M^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} – {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}}
\end{array}\)

Tương tự  \(
DM = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Gọi K là hình chiếu của I lên AD ta có :

Mặt cầu đường kính MN tiếp xúc với AD nên \(IK=IM=IN,IK⊥AD\)

Xét tam giác AMI và AKI có :

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{\widehat {AMI} = \widehat {AKI} = {{90}^0};}\\
{AI{\mkern 1mu} chung;}\\
{IM = IK\left( {cmt} \right);}
\end{array}\)

Do đó ΔAMI=ΔAKI (cạnh huyền – cạnh góc vuông) \(
\Rightarrow AK = AM = \frac{a}{2}\) (cạnh tương ứng).

Tương tự : ΔDNI=ΔDKI (cạnh huyền – cạnh  góc vuông)

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{ \Rightarrow DN = DK = AD – AK = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} – \frac{a}{2} = \frac{{a\left( {\sqrt 3 – 1} \right)}}{2}}\\
{ \Rightarrow DC = 2DN = 2.\frac{{a\left( {\sqrt 3 – 1} \right)}}{2} = a\left( {\sqrt 3 – 1} \right)}
\end{array}\)

Áp dụng định lý cô sin trong tam giác MCD có :

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{\cos \widehat {CMD} = \frac{{M{C^2} + M{D^2} – C{D^2}}}{{2MC.MD}}}\\
{{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = \frac{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} – {{\left( {a\left( {\sqrt 3 – 1} \right)} \right)}^2}}}{{2.\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}}}\\
{{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = 2\sqrt 3 – 3 > 0}\\
{ \Rightarrow \cos \alpha = \cos \widehat {CMD} = 2\sqrt 3 – 3}
\end{array}\)