Thiết diện của hình trụ và mặt phẳng chứa trục của hình trụ là hình chữ nhật có chu vi là 12 cm. Giá trị lớn nhất của thể tích khối trụ là

Gọi bán kính đáy và chiều cao của hình trụ lần lượt là rr và h(r,h>0)

Thiết diện là hình chữ nhật ABCD có chu vi 2(AB+BC)=2.(h+2r)

Theo giả thiết ta có 

\(
2\left( {h + 2r} \right) = 12 \Leftrightarrow h + 2r = 6 \Rightarrow h = 6 – 2r{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (r < 3)\)

Thể tích khối trụ 

\(
V = \pi {r^2}h = \pi {r^2}.\left( {6 – 2r} \right) = \pi r.r.\left( {6 – 2r} \right)\)

Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số r;r;6−2r ta được

\(r + r + 6 – 2r \ge 3\sqrt[3]{{r.r\left( {6 – 2r} \right)}} \Leftrightarrow \sqrt[3]{{r.r\left( {6 – 2r} \right)}} \le 2 \Leftrightarrow {r^2}\left( {6 – 2r} \right) \le 8 \Leftrightarrow \pi {r^2}\left( {6 – 2r} \right) \le 8\pi \)

Hay V≤8π . Dấu = xảy ra khi r=6−2r⇔r=2(TM)

Vậy giá trị lớn nhất của khối trụ là V=8π.