Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các số nguyên \(m\) để hàm số \(y = \left| {\frac{1}{4}{x^4} – \frac{{19}}{2}{x^2} + 30x + m} \right|\) có giá trị lớn nhất trên đoạn \(\left[ {0\,;\,2} \right]\) không vượt quá \(20\). Số phần tử của tập hợp \(S\) bằng?

Câu hỏi:

Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các số nguyên \(m\) để hàm số \(y = \left| {\frac{1}{4}{x^4} – \frac{{19}}{2}{x^2} + 30x + m} \right|\) có giá trị lớn nhất trên đoạn \(\left[ {0\,;\,2} \right]\) không vượt quá \(20\). Số phần tử của tập hợp \(S\) bằng?

A. 12.

B. 13.

C. 14.

D. 15.

Lời giải

Chọn D

Đặt \(f\left( x \right) = y = \left| {\frac{1}{4}{x^4} – \frac{{19}}{2}{x^2} + 30x + m} \right|\)

Xét \(g\left( x \right) = \frac{1}{4}{x^4} – \frac{{19}}{2}{x^2} + 30x + m\) trên đoạn \(\left[ {0\,;\,2} \right]\). Ta có \(g'(x) = {x^3} – 19x + 30\)\(g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^3} – 19x + 30 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – 5 \notin \left[ {0 & \,;\,2} \right]\\x = 3 \notin \left[ {0 & \,;\,2} \right]\\x = 2 \in \left[ {0 & \,;\,2} \right]\end{array} \right.\)

Khi đó \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0 & \,;\,2} \right]} g\left( x \right) = \max \left\{ {g\left( 0 \right)\,,\,g\left( 2 \right)} \right\}\) \( = \max \left\{ {m\,,\,m + 26} \right\} = m + 26\)

Do đó \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0 & \,;\,2} \right]} y = \mathop {\max }\limits_{\left[ {0 & \,;\,2} \right]} f\left( x \right) = \max \left\{ {\left| m \right|\,,\,\left| {m + 26} \right|} \right\} \le 20\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| m \right| \le \left| {m + 26} \right| \le 20\\\left| {m + 26} \right| \le \left| m \right| \le 20\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} – 13 \le m \le – 6\\ – 20 \le m \le – 13\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow – 20 \le m \le – 6\)

Suy ra \(S = \left\{ {m \in \mathbb{Z}| – 20 \le m \le – 6} \right\}\). Khi đó số phần tử của tập hợp \(S\) bằng 15 phần tử.

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số