Tính tổng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \cos x – \frac{2}{3}{\cos ^3}x\) trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\).

Câu hỏi:

Tính tổng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \cos x – \frac{2}{3}{\cos ^3}x\) trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\).

A. \(\frac{{\sqrt 2 }}{3}\).

B. \(\frac{2}{3}\).

C. \(0\).

D. \(\frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).

Lời giải

Chọn C

Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = \cos x – \frac{2}{3}{\cos ^3}x\) trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\).

Đặt \(t = \cos x\). Ta có \(t \in \left[ { – 1;\;1} \right]\) và hàm số đã cho trở thành \(y = g\left( t \right) = t – \frac{2}{3}{t^3}\).

\(y’ = 1 – 2{t^2}\); \(\left\{ \begin{array}{l}y’ = 0\\t \in \left[ { – 1;\;1} \right]\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 – 2{t^2} = 0\\t \in \left[ { – 1;\;1} \right]\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = \frac{{\sqrt 2 }}{2}}\\{t = – \frac{{\sqrt 2 }}{2}}\end{array}} \right.\).

\(g\left( { – 1} \right) = – \frac{1}{3}\), \(g\left( 1 \right) = \frac{1}{3}\), \(g\left( { – \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = – \frac{{\sqrt 2 }}{3}\), \(g\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{3}\).

Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { – 1;1} \right]} g\left( t \right) = g\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{3}\), \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { – 1;1} \right]} g\left( t \right) = g\left( { – \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = – \frac{{\sqrt 2 }}{3}\)

hay \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;\pi } \right]} y = f\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{3}\), \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;\pi } \right]} y = f\left( {\frac{{3\pi }}{4}} \right) = – \frac{{\sqrt 2 }}{3}\).

Tổng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất là \(\frac{{\sqrt 2 }}{3} + \left( { – \frac{{\sqrt 2 }}{3}} \right) = 0\).

Nhận xét: Ta có \(x \in \left[ {0;\;\pi } \right] \Rightarrow \pi – x \in \left[ {0;\;\pi } \right]\) và \(f\left( {\pi – x} \right) = – f\left( x \right)\).

Do đó nếu hàm số đạt giá trị lớn nhất tại \({x_0}\) thì sẽ đạt giá trị nhỏ nhất tại \(\pi – {x_0}\) và giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất là hai số đối nhau. Vậy tổng cần tìm bằng \(0\).

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số