Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số thực m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số

\(y = \left| {\frac{1}{4}{x^4} – 14{x^2} + 48x + m – 30} \right|\) trên đoạn không vượt quá 30. Tính tổng tất cả các phần tử của S.

Câu hỏi:
Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số thực m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số

\(y = \left| {\frac{1}{4}{x^4} – 14{x^2} + 48x + m – 30} \right|\) trên đoạn không vượt quá 30. Tính tổng tất cả các phần tử của S.

A. \(108\).

B. \(120\).

C. \(210\).

D. \(136\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Đặt \(f\left( x \right) = \frac{1}{4}{x^4} – 14{x^2} + 48x + m – 30\) là hàm số xác định và liên tục trên đoạn.

Ta có: \(f’\left( x \right) = {x^3} – 28x + 48.\) Với mọi \(x \in \left[ {0;2} \right]\) ta có \(f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^3} – 28x + 48 = 0 \Leftrightarrow x = 2.\)

Mặt khác: \(f\left( 0 \right) = m – 30;f\left( x \right) = m + 14.\) Ta có: \(\mathop {\max }\limits_{[0;2]} \left| {f\left( x \right)} \right| = \max \left\{ {\left| {f\left( 0 \right)} \right|;\left| {f\left( 2 \right)} \right|} \right\}.\)

Theo bài: \(\mathop {\max }\limits_{[0;2]} \left| {f\left( x \right)} \right| \le 30 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {f\left( 0 \right)} \right| \le 0\\\left| {f\left( 2 \right)} \right| \le 30\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {m – 30} \right| \le 30\\\left| {m + 14} \right| \le 30\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – 30 \le m – 30 \le 30\\ – 30 \le m + 14 \le 30\end{array} \right..\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 \le m \le 60\\ – 44 \le m \le 16\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 \le m \le 16.\) Do \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in S = \left\{ {0;1;2;3;4;5;…;16} \right\}.\)

Vậy tổng tất cả 17 giá trị trong tập S là \(\frac{{17\left( {0 + 16} \right)}}{2} = 136.\)

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số