Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) sao cho giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right) = \left| {\frac{1}{4}{x^4} + \frac{1}{3}\left( {{m^2} – 2} \right){x^3} – {m^2}{x^2} + m} \right|\) trên đoạn \(\left[ {0;\,2} \right]\) luôn bé hơn hoặc bằng \(5\)?

Câu hỏi:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) sao cho giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right) = \left| {\frac{1}{4}{x^4} + \frac{1}{3}\left( {{m^2} – 2} \right){x^3} – {m^2}{x^2} + m} \right|\) trên đoạn \(\left[ {0;\,2} \right]\) luôn bé hơn hoặc bằng \(5\)?

A. \(0.\)

B. \(4.\)

C. \(7.\)

D. \(8.\)

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Xét hàm số \(g\left( x \right) = \frac{1}{4}{x^4} + \frac{1}{3}\left( {{m^2} – 2} \right){x^3} – {m^2}{x^2} + m\) trên đoạn \(\left[ {0;\,2} \right].\)

Ta có \(g’\left( x \right) = {x^3} + \left( {{m^2} – 2} \right){x^2} – 2{m^2}{x^2} = x\left( {x – 2} \right)\left( {x + {m^2}} \right) \le 0,{\rm{ }}\forall x \in \left[ {0;2} \right].\)

Suy ra hàm số \(g\left( x \right)\) nghịch biến trên yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}g\left( 0 \right) \le 5\\g\left( 2 \right) \ge – 5\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 5\\4 + \frac{8}{3}\left( {{m^2} – 2} \right) – 4{m^2} + m \ge – 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{{3 – \sqrt {53} }}{4} \le m \le \frac{{3 + \sqrt {53} }}{4}\)

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số