Cho khối lăng trụ đứng \(ABC.A’B’C’ \) có đáy là tam giác đều. Mặt phẳng \((A’BC)\) tạo với đáy một góc \(30^\circ \) và tam giác \(A’BC\) có diện tích bằng \(32 \). Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

Câu hỏi: Cho khối lăng trụ đứng \(ABC.A’B’C’ \) có đáy là tam giác đều. Mặt phẳng \((A’BC)\) tạo với đáy một góc \(30^\circ \) và tam giác \(A’BC\) có diện tích bằng \(32 \). Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

A. \(64\sqrt 3 \).

B. \(\frac{{64\sqrt 3 }}{3}\).

C. \(128\).

D. \(\frac{{128}}{3}\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Gọi \(\varphi \) là góc giữa mặt phẳng \(\left( {A’BC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\).

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\).

Khi đó \(AM \bot BC\).

\(AA’ \bot BC\).

Suy ra \(BC \bot \left( {A’AM} \right) \Rightarrow BC \bot A’M\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {A’BC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\AM \bot BC\\A’M \bot BC\end{array} \right.\).

Suy ra góc \(\varphi = \widehat {A’MA} = 30^\circ \).

Ta có: \(\cos {30^^\circ } = \frac{{AM}}{{A’M}} \Leftrightarrow \frac{{AM}}{{A’M}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow A’M = \frac{2}{{\sqrt 3 }}AM\).

Đặt \(BC = x > 0 \Rightarrow AM = \frac{{x\sqrt 3 }}{2}\) và \(A’M = \frac{2}{{\sqrt 3 }}.\frac{{x\sqrt 3 }}{2} = x\).

Ta lại có: \({S_{\Delta A’BC}} = \frac{1}{2}A’M.BC \Leftrightarrow 32 = \frac{1}{2}x.x \Rightarrow x = 8 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AM = 4\sqrt 3 }\\{A’M = 8}\end{array} \Rightarrow A’A = 4.} \right.\)

Suy ra \({V_{ABC \cdot A’B’C’}} = {S_{\Delta ABC}}.AA’ = \frac{{{8^2}.\sqrt 3 }}{4}.4 = 64\sqrt 3 \).

=======