Giải bài tập Ôn chương 4 GIỚI HẠN – Giải tích 11 cơ bản
Bài 1. Hãy lập bảng liệt kê các giới hạn đặc biệt của dãy số và các giới hạn đặc biệt của hàm số.
Trả lời:
Một vài giới hạn đặc biệt của dãy số
Giới hạn dãy | Giới hạn hàm |
\(\eqalign{ & \lim {1 \over n} = 0 \cr & \lim {1 \over {{n^k}}} = 0,k \in {\mathbb Z^*} \cr & \lim {q^n} = 0,|q| < 1 \cr & \lim c = c \cr & \lim {n^k} = + \infty ,k \in {\mathbb Z^*} \cr & lim{q^n} = + \infty ,q > 1 \cr} \) | \(\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} x = {x_0} \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} c = c \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {c \over {{x^k}}} = 0,k \in {\mathbb Z^*} \cr} \) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {x^k} = + \infty \) (nếu \(k\) chẵn)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {x^k} = – \infty \) (nếu \(k\) lẻ) |
============
Bài 2. Cho hai dãy số \((u_n)\) và \((v_n)\). Biết \(|u_n– 2| ≤ v_n\) với mọi \(n\) và \(\lim v_n=0\). Có kết luận gì về giới hạn của dãy số \((u_n)\)?
Trả lời:
+ Với mọi \(n ∈ \mathbb N^*\) , ta có:
\(|u_n– 2| ≤ v_n⇔ -v_n ≤ u_n– 2 ≤ v_n\)
+ Mà \(\lim (-v_n) = \lim (v_n) = 0\) nên
\(\lim (u_n– 2) = 0 ⇔ \lim u_n – \lim 2 = 0 ⇔ \lim u_n= 2\).
===========
Bài 3. Tên của một học sinh được mã hóa bởi số 1530. Biết rằng mỗi chữ số trong số này là giá trị của một trong các biểu thức \(A, H, N, O\) với:
\(A = \lim {{3n – 1} \over {n + 2}}\)
\(H = \lim (\sqrt {{n^2} + 2n} – n)\)
\(N = \lim {{\sqrt n – 2} \over {3n + 7}}\)
\(O = \lim {{{3^n} – {{5.4}^n}} \over {1 – 4n}}\)
Trả lời:
\(A = \lim {{3n – 1} \over {n + 2}} = \lim {{n(3 – {1 \over n})} \over {n(1 + {2 \over n})}} = \lim {{3 – {1 \over n}} \over {1 + {2 \over n}}} = 3\)
\(\eqalign{
& H = \lim (\sqrt {{n^2} + 2n} – n) = \lim {{({n^2} + 2n) – {n^2}} \over {\sqrt {{n^2} + 2n} + n}} \cr
& = \lim {2n \over {n\left[ {\sqrt {1 + {2 \over n}} + 1} \right]}} = \lim {2 \over {\sqrt {1 + {2 \over n}} + 1}} = 1 \cr} \)
\(\eqalign{
& N = \lim {{\sqrt n – 2} \over {3n + 7}} = \lim {{n(\sqrt {{1 \over n}} – {2 \over n})} \over {n(3 + {7 \over n})}} \cr
& = \lim {{\sqrt {{1 \over n}} – {2 \over n}} \over {3 + {7 \over n}}} = 0 \cr} \)
\(\eqalign{
& O = \lim {{{3^n} – {{5.4}^n}} \over {1 – 4n}} = \lim {{{4^n}\left[ {{{({3 \over 4})}^n} – 5} \right]} \over {{4^n}\left[ {{{({1 \over 4})}^n} – 1} \right]}} \cr
& = \lim {{{{({3 \over 4})}^n} – 5} \over {{{({1 \over 4})}^n} – 1}} = 5 \cr} \)
Vậy số 1530 là mã số của chữ Hoan.
=============
Bài 4.
a) Có nhận xét gì về công bội của các cấp số nhân lùi vô hạn.
b) Cho ví dụ về cấp số nhân lùi vô hạn có công bội là số âm và một cấp số nhân lùi vô hạn có công bội là số dương và tính tổng của mỗi cấp số nhân đó.
Trả lời:
a) Công bội \(q\) của cấp số nhân lùi vô hạn phải thoản mãn \(|q| < 1\)
b) Ví dụ: cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu \(u_1= 2\) và công bội là: \(q = {{ – 1} \over 2}\)
\(2, – 1,{1 \over 2}, – {1 \over {{2^2}}},…\)
+ Và tổng là: \(S = {{{u_1}} \over {1 – q}} = {2 \over {1 + {1 \over 2}}} = {4 \over 3}\)
+ Cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu là \(u_1= 3\) và công bội là \(q = {1 \over 3}\)
\(3,1,{1 \over 3},{1 \over {{3^2}}},…\)
+ Và tổng là: \(S = {{{u_1}} \over {1 – q}} = {3 \over {1 – {1 \over 3}}} = {9 \over 2}\)
==============
Bài 5. Tính các giới hạn sau
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{x + 3} \over {{x^2} + x + 4}}\)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – 3} {{{x^2} + 5x + 6} \over {{x^2} + 3x}}\)
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ – }} {{2x – 5} \over {x – 4}}\)
d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } ( – {x^3} + {x^2} – 2x + 1)\)
e) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {{x + 3} \over {3x – 1}}\)
f) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {{\sqrt {{x^2} – 2x + 4} – x} \over {3x – 1}}\)
Trả lời:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{x + 3} \over {{x^2} + x + 4}} = {{2 + 3} \over {{2^2} + 2 + 4}} = {1 \over 2}\)
b)
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to – 3} {{{x^2} + 5x + 6} \over {{x^2} + 3x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to – 3} {{(x + 2)(x + 3)} \over {x(x + 3)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to – 3} {{x + 2} \over x} \cr
& = {{ – 3 + 2} \over { – 3}} = {1 \over 3} \cr} \)
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ – }} {{2x – 5} \over {x – 4}}\)
Ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ – }} (2x – 5) = 3 > 0\)(1)
\(\left\{ \matrix{
x – 4 < 0,\forall x < 4 \hfill \cr
\mathop {\lim }\limits_{x \to – 4} (x – 4) = 0 \hfill \cr} \right.\)
(2)
Từ (1) và (2) suy ra: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ – }} {{2x – 5} \over {x – 4}} = – \infty \)
d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } ( – {x^3} + {x^2} – 2x + 1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^3}( – 1 + {1 \over x} – {2 \over {{x^2}}} + {1 \over {{x^3}}}) = – \infty \)
e)
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {{x + 3} \over {3x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {{x(1 + {3 \over x})} \over {x(3 – {1 \over x})}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {{1 + {3 \over x}} \over {3 – {1 \over x}}} = {1 \over 3} \cr} \)
f)
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {{\sqrt {{x^2} – 2x + 4} – x} \over {3x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {{|x|\sqrt {1 – {2 \over x} + {4 \over {{x^2}}}} – x} \over {3x – 1}} \cr
& \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {{ – x\sqrt {1 – {2 \over x} + {4 \over {{x^2}}}} – x} \over {x(3 – {1 \over x})}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {{ – \sqrt {1 – {2 \over x} + {4 \over {{x^2}}}} – 1} \over {3 – {1 \over x}}} = {{ – 2} \over 3} \cr} \).
==============
Bài 6. Cho hai hàm số \(f(x) = {{1 – {x^2}} \over {{x^2}}}\) và \(g(x) = {{{x^3} + {x^2} + 1} \over {{x^2}}}\)
a) Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x);\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g(x);\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x);\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g(x)\)
b) Hai đường cong sau đây (h.60) là đồ thị của hai hàm số đã cho. Từ kết quả câu a), hãy xác định xem đường cong nào là đồ thị của mỗi hàm số đó.
Trả lời:
a)
+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{1 – {x^2}} \over {{x^2}}} = + \infty \)
Vì: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (1 – {x^2}) = 1 > 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {x^2} = 0;{x^2} > 0,\forall x \ne 0\)
+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{{x^3} + {x^2} + 1} \over {{x^2}}} = + \infty \)
Vì: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} ({x^3} + {x^2} + 1) = 1 > 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {x^2} = 0,{x^2} > 0,\forall x \ne 0\)
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{1 – {x^2}} \over {{x^2}}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{{x^2}({1 \over {{x^2}}} – 1)} \over {{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } ({1 \over {{x^2}}} – 1) = – 1 \cr} \)
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{{x^3} + {x^2} + 1} \over {{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{{x^3}(1 + {1 \over x} + {1 \over {{x^3}}})} \over {{x^3}({1 \over x})}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{1 + {1 \over x} + {1 \over {{x^3}}}} \over {{1 \over x}}} = + \infty \cr} \)
b) Gọi \((C_1)\) và \((C_2)\) lần lượt là hai đồ thị của hàm số \(y = f(x)\) và \(y = g(x)\)
Vì
\(\left\{ \matrix{
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = + \infty \hfill \cr
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g(x) = + \infty \hfill \cr} \right.\)
nên hai đồ thị \((C_1)\) và \((C_2)\) có nhánh vô tận đi lên khi \(x \rightarrow 0\).
+) Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = – 1\) nên \((C_1)\) có nhánh vô tận tiến gần đến đường thẳng \(y = -1\) \(khi x \rightarrow ∞\)
+) Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g(x) = + \infty \) \((C_2)\) có nhánh vô tận đi lên khi \(x \rightarrow +∞\)
Dựa vào đặc điểm của \((C_1)\) và \((C_2)\) như trên ta có\((C_1)\) là đồ thị b và \((C_2)\) là đồ thị a.
===============
Bài 7. Xét tính liên tục trên R của hàm số:
\(g(x) = \left\{ \matrix{
{{{x^2} – x – 2} \over {x – 2}}(x > 2) \hfill \cr
5 – x(x \le 2) \hfill \cr} \right.\)
Trả lời:
Ta có:
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {{{x^2} – x – 2} \over {x – 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {{(x – 2)(x + 1)} \over {x – 2}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} (x + 1) = 3 (1)\cr} \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} (5 – x) = 3\) (2)
\(g(2) = 5 – 2 = 3 \) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} g(x) = g(2)\) .
Do đó hàm số \(y = g(x)\) liên tục tại \(x_0= 2\)
Mặt khác trên \((-∞, 2)\), \(g(x)\) là hàm đa thức và trên \((2, +∞)\), \(g(x)\) là hàm số phân thức hữu tỉ xác định trên \((2, +∞)\) nên hàm số \(g(x)\) liên tục trên hai khoảng \((-∞, 2)\) và \((2, +∞)\)
Vậy hàm số \(y = g(x)\) liên tục trên \(\mathbb R\).
=============
Bài 8. Chứng minh rằng phương trình \(x^5– 3x^4+ 5x – 2 = 0\) có ít nhất ba nghiệm nằm trong khoảng \((-2, 5)\)
Trả lời:
Đặt \(f(x) = x^5– 3x^4+ 5x – 2\), ta có:
\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
f( – 2) = {( – 2)^5} – 3{( – 2)^4} + 5( – 2) – 2 < 0 \hfill \cr
f(0) = – 2 < 0 \hfill \cr
f(1) = 1 – 3 + 5 – 2 = 1 > 0 \hfill \cr
f(2) = {2^5} – {3.2^4} + 5.2 – 2 = – 8 < 0 \hfill \cr
f(3) = {3^5} – {3.3^4} + 5.3 – 2 = 13 > 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Rightarrow \left\{ \matrix{
f(0).f(1) < 0(1) \hfill \cr
f(1).f(2) < 0(2) \hfill \cr
f(2).f(3) < 0(3) \hfill \cr} \right. \cr} \)
+) Hàm số \(f(x)\) là hàm số đa thức liên tục trên \(\mathbb R\).
\(⇒\) Hàm số \(f(x)\) liên tục trên các đoạn \([0, 1], [1, 2], [2, 3]\) (4)
Từ (1), (2), (3) và (4) suy ra
Phương trình \(x^5– 3x^4+ 5x – 2=0\) có ít nhất một nghiệm trên mỗi khoảng \((0, 1), (1, 2), (2, 3)\).
Vậy phương trình \(x^5– 3x^4+ 5x – 2=0\) có ít nhất ba nghiệm trên khoảng \((-2, 5)\) (đpcm)
===============
Ôn tập chương 4 Giới hạn
Trả lời